På besøk i Hilberts uendelige hotell

Uendelig på tarot-kortHva er uendelig? Er «uendelig» et tall, slik som 666, eller π? Finnes det noe som er større enn uendelig?

Dette er matematiske spørsmål med veldig spennende og uventede svar. For «uendelig» er nemlig ikke bare bare. Grekerne brukte ordet apeiron om uendelig, og det kan oversettes med mange ting, deriblant «udefinert». De brukte ordet nedsettende; om noe var uestetisk eller skittent var det apeiron, ur-kaoset som hele verden var skapt fra kaltes apeiron, og så videre. Grekerne syntes rett og slett at uendelig ikke var noe særlig bra! I «folkesjela» blir uendelig ofte forbundet med noe mystisk og magisk, som illustrert ved bruken av det velkjente symbolet ∞ på tarotkortet «magikeren».

Matematisk sett har begrepet uendelig blitt godt forstått bare i løpet av de siste hundre år eller så. Samtidig trenger man ikke mer en vanlig grunnskolematte for å forstå essensen.

Hva om uendelig var et tall … Hvor stort er det tallet? Det må være større enn alle mulige tall, feks. 100.000.000.000.000.000.000, eller hundre milliarder milliarder. Matematikere skriver dette på kompakt vis som 1020 — 10 x 10 x 10 … x 10, 20 ganger totalt. Dessverre er ikke dette tallet i nærheten av å være uendelig. Egentlig ikke så rart, for det er bare 21 siffer totalt. Det er lett å skrive noe større; bare legg til en null eller to. Ta for eksempel et ett-tall etterfulgt av 100 nuller – 10100. (Dette tallet kalles forresten en googol, som Google har tatt navnet sitt etter). Altså:

10.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000.­000

Er dette i  nærheten av uendelig? Langt i fra! Vi kan for eksempel ta en googolplex, som er 10gogool, altså 1 etterfulgt av en googool nuller. Det er så svært det, så latterlig gigantisk at det ikke finnes nok materie i universet til å skrive ned tallet, selv om vi bare brukte ett elektron per null!

Men selv en googolplex er aldri i nærheten av å være uendelig.

Det er vel klart nå, at uendelig kan ikke være et vanlig tall.

Hva om vi tenker oss evigheten — uendelig mye tid. Hvor lenge er det? Her er en populær liknelse, fra «Gjetergutten» av brødrene Grimm: En gjetergutt blir spurt av kongen om hvor mange sekunder det er i evigheten. Han svarer da:

Grimms gjetergutt

Gjetergutten fra brødrene Grimms eventyr

«I nedre Pommern er det eit diamantfjell. Fjellet er førti tusen meter høgt førti tusen meter breitt, og ei mil djupt. Kvar hundre år kjem ein fugl og kvesser nebben sin mot fjellet, og når den har slite ned heile fjellet, har det første sekundet av æva gått.»

Kloke ord fra en klok gjeter.

Men jorden kaller Lyn Gordon.

Georg Cantor (1845 - 1918)

Georg Cantor (1845 — 1918)

Uendelig som matematisk begrep er ikke så gammelt. Den store pioneren var tyskeren Georg Cantor (1845 — 1918). Hans tanker om mengdelære og uendelige tall (såkalt transfinitte tall) var revolusjonerende at han nærmest utstøtt av sine samtidige kolleger. Cantor led av tunge depresjoner; en idiotisk myte forteller at han ble gal av å få et glimt inn i den rene matematiske verdenen som er befolket av uhyrligheter som uendelige tall og fraktaler. (Forestillingen om at moderne matematikk og fysikk er «farlig» var ganske utbredt på slutten av 1800-tallet og utover 1900-tallet.) Noen historikere mener Cantor led av bipolar lidelse. Andre igjen mener at han slet veldig med selvtilliten. Ikke så rart: Et samlet matematikermiljø erklerte arbeidet hans som vanvittig og «kjettersk». Han var en «sjarlatan» og en som «korrumperte ungdommen» med sine ideer. Ikke akkurat en veldig vitenskapelig holdning, spør du meg.

Men den som ler sist ler best. I dag er Cantors ideer pensum i første år på universitetet. Den store matematikeren og fysikeren David Hilbert sa i 1914 at

«Ingen skal kaste oss ut fra det paradis som Cantor har vist oss.»

Så hva forteller Cantor oss om uendelig?

Cantor forsto at begrepet var tett knyttet til hvordan vi teller objekter i en mengde. At en mengde med matematiske objekter er uendelig stor betyr kort sagt at vi aldri kommer til slutten ved å telle.

Ta de såkalte naturlige tallene, dvs, «telletallene» 1, 2, 3, … . Denne tallmengden kaller vi N, og er intuitivt uendelig stor:

\mathbf{N} = \{ 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, \ldots, \, \text{googol}, \, \ldots, \, \text{googolplex},\, \ldots,\, \text{googolplex}^{\text{googolplex}},\, \ldots \}

Dersom du nå tar en annen matematisk mengde M, så er denne såkalt «tellbart uendelig» dersom du kan sette en unik merkelapp fra N på hvert objekt i M slik at alle telletallene blir brukt opp. Tenk deg en lapp med et tall som er festet på et element i M, og at det finnes en lapp for alle mulige tall.

Ok, dette ble kanskje komplisert. Men enkelt sagt: Du kan lage en nummerert liste som aldri stopper over absolutt alle elementene i M, uten å gjenta noen elementer. Da er mengden uendelig.

Spør du meg, er dette en logisk definisjon av at noe er uendelig stort.

Om dette hørtes komplisert ut, så er det kanskje lettere med et eksempel: Ta alle partallene, som vi kan kalle P. Denne mengden inneholder per definisjon alle tall på formen 2n, der n er et heltall i N. Men da er jo tallet i P «merket» med et tall n. Ser du det? Altså er det «tellbart uendelig» mange partall. Her er den nummererte listen:

1.   2
2.  4
3.  6

googol.   2 · googol

Merkelappene er i fet tekst, og elementet som får en merkelapp er ved siden av.

På den annen side kan vi ta mengden av måneder i året. Den er ikke uendelig: vi kan sette opp en nummerert liste, men listen tar slutt etter bare 12 linjer.

Cantor definerte et «tall» ℵ0 som «antallet elementer i en tellbart uendelig mengde.» For mengdene N og P har vi ℵ0 elementer. For mengden av måneder har vi bare 12 elementer, og 12<ℵ0. På den måten er «uendelig» definert som et slags tall, en størrelse på en mengde. Dette tallet er transfinitt, for det er større en alle endelige tall. (Forresten: ℵ er den første bokstaven alef i det Hebraiske alfabet.)

Hilberts uendelige hotell

Hilberts uendelige hotell

oppfører seg imidlertid litt annerledes enn vanlige tall. Den nevnte David Hilbert lovpriste Cantors arbeider. Han er selv en av de absolutte storhetene innen matematikken og fysikken. For å forklare hvor merkelig uendelig oppfører seg, laget han et eksempel som i dag bare kalles «Hilberts hotell». Dette er et hotell med kollosalt mange rom, faktisk uendelig mange rom, altså ℵ0 rom!

En dag er hotellet fullt. Alle rommene er fylt av gjester. Er det likevel plass til en ny gjest? Ja! Resepsjonisten ber bare gjesten i rom nr. 1 å flytte til nr. 2, med beskjed om at gjesten i nr 2. skal flytte til nr. 3, osv. Da står rom nr. 1 ledig, men ingen behøvde å flytte ut! Legg merke til at dersom antallet rom var endelig, la oss si 12, så ville ikke gjesten som opprinnelig bodde i nr. 12 ha noe sted å flytte til. Men siden det er tellbart uendelig mange rom, vil gjestene alltid ha et rom å flytte til. Dette er det magiske med uendelig store mengder.

Så ℵ0+1=ℵ0 … Snedig.

Dagen etter kommer imidlertid et fotballag. Dette er faktisk et veldig stort fotballag, Cantor United, med uendelig mange spillere. Kan vi få plass til alle sammen?

Ja! Resepsjonisten ber bare gjesten i rom nr. n om å flytte til 2n-1. Da er alle rom med partallsnummer ledig! Fotballaget kan dermed sjekke inn i partallsrommene på normalt vis.

Så ℵ0+ℵ0=ℵ0 … Nydelig!

Cantor United spiller i mesterligaen. Dagen etter kommer de andre lagene i ligaen til Hilberts hotell. Det er selvsagt uendelig mange fotballlag med uendelig mange spillere på hvert lag:

Illustrasjon av uendelig mange uendelige fotballag

Uendelig mange fotballag, med uendelig mange spillere i hver

Kan disse få plass i det allerede fulle hotellet? Ja! Her må vi gi alle fotballspillerne hvert sitt nummer n for å bevise at det er tellbart uendelig mange spillere. Opprinnelig hadde hver spiller på lag k et eller annet nummer m, men nå skal de altså få et nytt nummer n slik at ingen andre spillere har det samme nummeret, men også slik at alle spillerne faktisk får et nummer. Da har vi bevist at mengden av ℵ0 fotballag med ℵ0 spillere totalt har ℵ0 elementer, det vil si er (fortsatt) tellbart uendelig. (Vanligvis ville 10 fotballag med 22 spillere ha totalt 220 spillere. Nå får vi at ℵ0˙ℵ0=ℵ0!)

Hvordan kan vi gjøre dette beviset? Det er egentlig ikke så vanskelig. Her kan du se hvordan vi kan trekke en linje gjennom alle spillerne etter tur:

Illustrasjon av uendelig mange fotballag med uendelig mange spillere 2

Hvordan gi uendelig mange spillere på uendelig mange lag hvert sitt unike spillernummer

Nederst til venstre er spiller nr 1. Til høyre for denne er nr. 2. Så finner vi nr. 3 opp og til høyre. Og så videre. Nå har alle de uendelig mange spillerne på de uendelig mange lagene fått et tall n tildelt i stigende rekkefølge, og kan dermed flytte inn på samme måte som når et enkelt fotballag kom. Tadaa!

Denne filmen kom jeg over på YouTube, og den illustrerer Hilberts hotell på en veldig bra; i tillegg er tekningene artige:

Men vent litt. Cantor oppdaget noe morsomt. Mengden R av tall på tallinjen («reelle tall») er større enn N. Hva betyr dette når N faktisk er uendelig? Hvordan kan noe være større? Jo, det må bety at man ikke kan bruke telle-tallene til å sette merkelapper på R. Det er umulig å sette opp en liste over tallene på tallinjen for det er rett og slett for mange tall!

Cantors bevis for dette er faktisk ikke så vanskelig, og for de litt mer avanserte anbefaler jeg å ta en kikk på Wikipedia-artikkelen for Cantors diagonal-argument.

Antallet elementer i R er ℵ1, og vi har at ℵ0 < ℵ1. Begge størrelsene er uendelige, men den ene er mer uendelig enn den andre. Dessuten finnes det uendelig mange uendelige tall, ℵn. Og vi kan tilogmed snakke om ℵ1. Matematikere elsker å lage sånne ting.

Finnes det noe som heter, for eksempel, ℵ1/2? Det vet man ikke, og det er faktisk umulig å bevise. Men dette er en annen historie, som vi kanskje kan fortelle en annnen gang. Viktige hovedpersoner i den er (nok en gang) Alan Turing som vi har skrevet om tidligere, og David Hilbert.

About these ads

Om Simen Kvaal

Jeg er forsker ved Centre for Theoretical and Computational Chemistry, UiO, og min forskning ligger i grenselandet mellom fysikk og matematikk, eller mellom barken og veden i noen sammenhenger. Jeg har spesialisert meg innen kvantemekanikberegninger men synes, som vitenskapsfolk burde, at omtrent alt er interessant!
Dette innlegget ble publisert i matematikk og merket med . Bokmerk permalenken.

5 svar til På besøk i Hilberts uendelige hotell

  1. Eirik M sier:

    Rettelse: Når Cantor United kommer på besøk, må person i rom nr. n flytte til rom nr. 2n. Da blir alle oddetallsrom ledig. (Eventuelt 2n-1 om Cantor skal få partallsrommene)

  2. Sverre Holm sier:

    Artig med litt fabuleringer rundt uendelig. Jeg går omtrent daglig forbi «Mot uendelig» ved Asker stasjon. Det er en mer enn 4 meter høy bronseskulptur av Aase Texmon Rygh. Se bilde her http://www.folk2.no/show.aspx?p=1537&kn_id=T7099246

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s