Dionysos. Luftskip. Solsikke.

Flislegging (tessellasjon) har alltid vært elsket av matematikere. Kan du flislegge et gulv med like store kvadrater (ja opplagt) eller regulære femkanter (nei)? Hvordan kan vi flislegge en fotball? Hvilke regulære ordninger av atomer er mulige i et krystall?

Dionysos

Vi skal ikke ta for oss disse klassiske matematiske problemene, men derimot en litt obskur klasse av flislegginger som er blitt kalt logaritmiske rosetter. Her er et eksempel fra en mosaikk i en romersk villa i Korint, Hellas, fra 2. århundre e.Kr.

Fyren med litt kriminelt utseende i midten er Dionysos, også kjent som Bacchus, guden for utagerende festing (det var kanskje gøy å stirre på dette mønsteret etter overdrevet alkoholinntak, jeg har ikke prøvd). Rett utenfor bølgeborden rundt ham er det 32 små triangler i en sirkel. Så konsentriske sirkler utover, hver med 32 triangler av økende størrelse, alle formlike. Da oppstår det buede linjer, markert med triangler av samme farge. Vi kan følge to sett av slike buer, ett som svinger mot venstre utover, og ett som svinger mot høyre. Det går an å vise at disse buene er logaritmiske spiraler (som jeg har skrevet om før på Kollokvium) med eksponent ca. 1, altså r = eφ i polarkoordinater.

Mosta, Malta

Det finnes sånne logaritmiske rosetter mange steder, i kirkevinduer, på kumlokk. Escher brukte dem i flere bilder; Path of Life III (1966) viser tolv fugler i konsentriske sirkler og spiralene markert med linjer. Her er forresten verdens tredje største kuppel, i en kirke på Malta (jeg har vært der, yay):

Mosaikken i Korint, og kuppelen på Malta, og kuppelen i Sheikh Lotf Allah-moskeen i Isfahan, Iran, har alle 32 elementer i hver sirkel, ganske mystisk hva.

Luftskip

Avstiving i USS Akron. Fra http://www.airships.net.

De majestetiske zeppelinerne på 1920- og 1930-tallet var tekniske mesterverk. Ta for eksempel USS Akron, 239 meter lang, konstruert i 1929 av tyskeren Karl Arnstein. For hver 22.5 meter var skroget avstivet med en enorm metallring forsterket av spente vaiere. Nå kunne Arnstein ha strukket vaierne fra midten av sirkelen og rett ut, men da ville de ytre delene av strukturen kunne vri seg i forhold til sentrum (tangensiell skjærbevegelse). Så i stedet lot han vaierne gå i buer, i en logaritmisk rosett med rombeformede elementer. Det elegante er at siden vaierne følger logaritmiske spiraler, står de alltid med en konstant vinkel i forhold til resultantkreftene som går radiært. Dermed er kreftene i vaierne de samme overalt, slik at ingen punkter overbelastes.

Det er sannsynlig at Hindenburg-ulykken skyldtes overbelastning av skroget fordi luftskipet ble manøvrert litt voldsomt før landingen. Hindenburg brukte ikke logaritmiske rosetter slik som USS Akron, men en svakere geometri.

Solsikke

Solsikke med 34 høyrevendte spiraler ytterst

Solsikkens fruktemner (som utvikles til solsikkefrø) dannes i midten og flytter seg utover ettersom blomsterkorgen vokser. Når hvert enkelt fruktemne også vokser, gir dette opphav til en tilnærmet logaritmisk rosett. Men det som er så veldig pussig, det er at antall spiraler i én retning, i alle fall i en gitt konsentrisk sone, pleier å være et Fibonacci-tall. Ikke bare i solsikker forresten, men i mange andre blomster også. Fibonacci-tallene danner jo en rekke slik at hvert tall er summen av de to forrige: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Det er ingen ende på merkelige fakta og historier om disse tallene, det finnes bøker, tidsskrifter, folk har blitt helt sprø av dem. Og Fibonacci-tall i planter, de har gitt opphav til en hel forskningsindustri. Man har egentlig aldri helt skjønt dette, og det er først nylig at tåka har begynt å lette.

La oss anta at solsikken ”ønsker” å pakke fruktemnene tettest mulig. Dessuten tar vi det for gitt at emnene dannes ett av gangen, like utenfor sentrum av blomsterkorgen, med en konstant vinkel fra foregående emne. Dette kalles spiral-fyllotaksis, og er et grunnleggende prinsipp for plantevekst i det hele tatt. Endelig forenkler vi litt og antar at fruktemnene ikke vokser etter at de er dannet. Dermed fjerner vi oss litt fra logaritmiske rosetter hvor elementene øker i størrelse. OK. Så da er spørsmålet: Hvilken vinkel mellom emnene gir tettest mulig pakking? Hvis vi velger 1/6 av 360 grader, eller 1/8, eller en annen enkel fraksjon av hele sirkelen, går det ganske dårlig. Jeg har tegnet linjer mellom påfølgende emner, med det nyeste emnet innerst:

60° (1/6 sirkel) og 45° (1/8 sirkel) vinkel mellom påfølgende emner

Fruktemnene går ut i 6 eller 8 rette stråler, og pakkes ikke særlig effektivt. Det hjelper heller ikke så mye å bruke andre enkle forhold, som 2/3 eller 3/4 av 360 grader. Irrasjonale tall som rota av 2 går litt bedre. Men siden vi nå har nevnt Fibonacci, hva skjer om vi bruker forhold mellom påfølgende Fibonacci-tall? La oss prøve, først 5/8 og så 8/13:

I midten av blomsterstanden gir 5/8 ganske bra resultat, men lenger utover ordner emnene seg i 8 rette linjer igjen. Men for 8/13 skjer det noe rart – emnene ser ut til å stå med forholdsvis jevn avstand, og etter litt blingsing kan vi følge spiraler i mønsteret. Jeg ser 5 spiraler som bøyer mot venstre utover. Når vi lager solsikker der vinkelen mellom påfølgende fruktemner er forhold mellom påfølgende Fibonacci-tall, da blir antall spiraler også Fibonacci-tall (antagelig går det an å bevise det, jeg har ikke forsøkt). Radiusen økes forresten med kvadratroten av vinkelen, det glemte jeg å si.

Hvis vi fortsetter på denne måten, får vi stadig jevnere pakking jo lenger vi går ut i Fibonacci-rekka (13/21, 21/34, osv.). Så sent som i 1993 beviste matematikerne Douady og Couder at vi får en optimal pakking dersom vi tar dette helt ut og bruker en vinkel som er forholdet mellom to påfølgende Fibonacci-tall i grensen, altså ”uendelig” langt ut i rekka. Dette tallet er (√5-1)/2, også kjent som det gyldne snitt. Nå begynner dette å bli litt for fantastisk, så jeg skal ikke gå lenger den veien! Uansett, sånn ser det ut for de første 250 fruktemnene hvis vi bruker et vinkeltillegg på 360*(√5-1)/2, eller omtrent 222.49 grader. Jeg teller 34 spiraler hver vei i den ytre delen. Hadde jeg fortsatt programmet mitt og plottet mange flere emner, tipper jeg at antall spiraler hadde økt til neste Fibonacci-tall, altså 55.

Der sto saken fram til ganske nylig. Historien gikk altså omtrent slik: Solsikken har et visst maskineri å forholde seg til (spiral-fyllotaksis), frambragt gjennom evolusjon, ikke så mye å gjøre med. Så, for å oppnå tettest mulig pakking av fruktemnene innenfor dette rammeverket, måler den inn nøyaktig 222.49 grader (den gyldne vinkel) mellom påfølgende emner. På grunn av finurlige matematiske sammenhenger (som vi ikke skjønner noe av, men vi stoler på at matematikerne gjør det) fører dette til at antall spiraler blir Fibonacci.

Men det har lenge vært murring i denne bransjen. Vinkelen må styres meget nøyaktig for at systemet skal fungere. Hvordan kan en plante måle vinkler med høy presisjon? Enkelte fysikere og matematikere (bl.a. de tidligere nevnte Douady og Couder) begynte å leke med helt andre modeller. Og så, i en rekke publikasjoner fra 2002 og fram til nå, flere av dem i Science og Nature, har molekylærbiologene gjort et gjennombrudd som snur hele historien opp ned.

Det viser seg at det finnes et signalstoff, auxin, som brytes ned av cellene der et nytt emne dannes. Samtidig måler cellene konsentrasjonen av auxin i omgivelsene. Når nivået blir høyt nok, betyr det at tettheten av emner i nærheten er lav, og da trigges dannelsen av et nytt emne. Slik oppstår et selvorganiserende system som lager et avstandsmønster, litt i samme gate som Turing-mønstre.

Planten sitter ikke og måler vinkler som en ingeniør. Naturen gjør ikke ting på den måten. Planten setter ikke ut vinkler for å oppnå optimal pakking, tvert imot så er den optimale pakkingen selvorganisert, og vinkelen bare et biprodukt. Dette forklarer hvorfor systemet er så presist og robust. Dessuten tillater denne mekanismen at emnene kan vokse etter at de er dannet, slik vi ser så tydelig i solsikken. Det selvorganiserende systemet tar automatisk hensyn til endringene i geometri som dette fører med seg, og kan danne en logaritmisk rosett der størrelsen på elementene øker utover.

Sånn kom vi endelig tilbake til Dionysos i sirklene.

About these ads

Om Øyvind Hammer

Paleontolog
Dette innlegget ble publisert i biologi, matematikk, teknologi. Bokmerk permalenken.

Ett svar til Dionysos. Luftskip. Solsikke.

  1. Dette må jo være en av de mest geniale matematiske mønstrene som finnes naturlig.
    Interessant artikkel :)

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s