Bare kaos?

I løpet av det tyvende århundre fikk vi flere revolusjoner i naturvitenskapen. En av de desidert viktigste er kaosteori. Dette er en matematisk teori som blant annet forklarer hvorfor det er umulig å forutsi været mer enn kort tid av gangen. De som så «Siffer» på NRK den 30. oktober kunne høre Jo Røislien fortelle om dette. 

Kaos er et fenomen som ikke bare opptrer på gutterommet eller på T-banen i Oslo når den første snøen faller. (Jeg gruer meg allerede.) Kaos er et helt vanlig og uunngåelig fenomen i de aller fleste dynamiske systemer. Et dynamisk system er noe som utvikler seg i tid etter  matematiske regler. Dette kan være modeller for rovdyrpopulasjoner, planetenes bevegelse i solsystemet, pendler som svinger, og altså været. Men som vi skal se, det er orden i kaoset.

Sommerfugleffekten

En sommerfugls vingeslag kan bli en tornado!

Så hva er kaos? Matematikerne sier at et system er kaotisk dersom det oppviser det som kalles «sensitivitet til initialbetingelser.» Hva betyr dette? Fenomenet kalles også sommerfugleffekten– en sommerfugl som slår med vingene i Hanoi kan i prinsippet forårsake tornado i Texas en uke senere. Små forandringer på ett tidspunkt forstørres og forstørres til enorme forandringer etter kort tid. En slags kjedereaksjon altså.

Illustrasjon av dreven pendel

Illustrasjon av dreven pendel. Motoren overfører krefter via en fjær

La oss se på et konkret eksempel på et kaotisk system: en såkalt dreven pendel. Det er ikke snakk om en pendler som er dreven i å vente på T-banen, men en vanlig dinglende pendel.

Figuren her viser denne pendelen. Etter hvert som den svinger vil den egentlig falle til ro på grunn av luftmotstanden. For å bøte på dette, setter vi på en motor! Denne motoren vrir på opphengspunktet i en rytmisk bevegelse som prøver å få fart på pendelen igjen. Derav begrepet «dreven pendel».

I filmen under ser du en simulering av pendelen, det vil si to simuleringer med bittelitt forskjellig utangspunkt. (Matematikerne sier bittelitt ulike «initialbetingelser».)  I den ene sikuleringen starter pendelen rett ned. La det representere vår «teoretiske kjennskap», dvs. simuleringen av været som gir grunn til værmeldingen. I den andre simuleringen er det en ørliten vinkel med vertikalen i starten. Dette representerer det faktiske været som burde vært matet inni værmodellen.

Etter forholdsvis kort tid ser vi at pendlene beveger seg i radikalt forskjellige baner. Hvor «kort» er denne tiden? Med et enkelt bilde kan vi si at du må kjenne utgangsposisjonen med 100 siffers nøyaktighet for å kunne forutsi ca. 2 sekunder nøyaktig, og 1000 siffer for 3 sekunder! Så en tidobling av reknekraften til en datamaskin vil bare gi et bittelite bidrag i evnen til å forutsi!

Dette er sommerfugleffekten.

Men det er orden i dette kaoset. Selv om pendelbanene er veldig ulike, har de felles statistiske egenskaper. For å komme tilbake til den etter hvert tynnslitte analogien med været: statistisk sett er det ganske sikkert at det vil snø utpå senhøsten!

Tilbake til pendelen vår: Hver gang motoren har gått en omgang, sjekker vi vinkelen og hastigheten til pendelen. Dette plotter vi i et diagram, ved å tegne en prikk. Her ser du resultatet, etter så mange som 100 000 000 omdreininger av motoren og like mange prikker. Hver prikk har horisontal posisjon gitt ved hastigheten, og vertikal posisjon gitt ved vinkelen. Etterhvert danner det seg et tydelig mønster:

Fremmed attraktor for dreven pendel

Fremmed attraktor for dreven pendel -- en fraktal. Klikk for mye større versjon!

Sexy, eller hva?

Egentlig kunne vi tegnet to forskjellige bilder: en for hver av pendlene i animasjonen. Men det viser seg at bildene blir så like at jeg ikke gidder å vise begge! Poenget er nettopp at denne figuren er karakteristisk for alle mulige baner! Den er karakteristisk for pendel-systemet som helhet.

Legg merke til at det er en masse detaljer på mange nivåer. Faktisk er det uendelig med detaljer! Her ser du en forstørrelse av et lite område (kan du se fra hvor?)

Zoom av et område på fremmed attraktor

Zoom av et område på fremmed attraktor. Klikk for større versjon.

Slike geometriske objekter kalles fremmede attraktorer og er typiske eksempler på det som kalles fraktaler i matematikken. Objekter med uendelig dybde i detaljer! Kult, eller hva?

Og alt dette er altså egenskaper ved bevegelsen til en enkel pendel med en motor. Orden i kaos, med uendelige detaljer — det må nesten være … kunst fra naturens side! Om man bare kunne bruke det arumentet for å slippe å rydde rommet eller vaske opp …

3 comments

  1. Mari Anne. · november 4, 2011

    For noen vakre bilder! Plakatmateriale.

  2. Tilbaketråkk: Hvordan tigeren får striper — en usedvanlig historie! | Kollokvium
  3. Tilbaketråkk: Tre-planets mazurka | Kollokvium

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s