Min favorittligning: Eulers formel

I all fysikk er det et poeng at formlene skal beskrive virkeligheten best mulig. Men hvis det er flere teorier å velge mellom så er det en slags stilltiende enighet om at da skal man velge den vakreste og enkleste teorien. Dette er ikke noe vi underviser spesielt mye om, det er akkurat som om det er noe som forskere tar med seg fra én generasjon til den neste.

Derfor er matematikere og fysikere opptatt av vakre formler. Det er også et poeng at teorien skal fremstilles på en mest mulig vakker måte når man skriver en artikkel. Dette kommer i tillegg til de mer tekniske sidene ved artikkelskriving som jeg har skrevet om i min blogg på UIO

Prinsippet om å velge det vakre og enkle kommer fra William av Occam (1285 – 1349) og Paul Dirac (1902 – 1984) og mange andre. Men hvorfor vi tror så sterkt på det er ikke umiddelbart så lett å si. Det vitner om en tro på en indre lovmessighet, enkelhet og skjønnhet i verden.

Vektleggingen av vitenskapelige lover er ett av europeernes viktigste bidrag til vitenskap og en av grunnene til at Europa var først med vitenskapsrevolusjonen på 15-1600-tallet. Dette kunne bare fødes i en kultur der en lovgiver for både moral og natur var en naturlig del av virkeligheten. I dag reflekterer man nok ikke så mye på det fordi prinsippet om at naturen styres av lover så og si har bevist seg selv i og med vitenskapens suksess.

Men for noen, og jeg er en av dem, er dette fortsatt et viktig aspekt ved utforsking av vitenskapens lover. I dette ligger at formlene avspeiler egenskaper ved skaperen, selv om innsikten fra vakre formler nok gir et ganske begrenset bilde av Gud.

I de fleste skjønnhetskonkurranser er det Eulers formel, eiπ+ 1 = 0, som vinner prisen for den vakreste og fineste formelen. Det er fordi den kombinerer  e, i og π  med 1 og 0, dvs den har med så og si alt:

  • 1 – enheten i vårt tallsystem.
  • 0 – det tallet vi brukte så lang tid på å få tak i. Det finnes ikke blant romertallene og vi måtte importere det indiske tallsystemet via araberne for å få det på plass.
  • π – forholdet mellom omkretsen og diameteren i en sirkel. Tallet som matematikere helt siden antikken har strevd med å finne bedre og bedre approksimasjoner til. I dag kan vi få det med så mange desimaler vi vil, og flere tusen av dem inngår i en veggdekorasjon ved min arbeidsplass i det nye Informatikkbygget på UIO. Men 3,14159… holder for de fleste formål.

Så langt kan de fleste følge med ut fra ungdomsskolematematikk, men her kommer de virkelige juvelene:

  • e – tallet som overraskende nok er så nært knyttet til norsk litteratur. Det gjorde et sterkt inntrykk på meg da en nabo lærte meg som ungdom at e = 2,7-Ibsen-Ibsen. Ibsen ble født i 1828 og e = 2,718281828… Tallet e er grunnenheten i det naturlige logaritmesystemet og som π er det irrasjonalt og transcendent.
  • i – den imaginære enheten. Tallet i gjør at alle algebraiske ligninger har en løsning, inkludert x2=-1 som er en definisjon av i. Tallet i ligger ikke på den vanlige tallinjen, men langs en ny akse vinkelrett på den. Derfor kobler i geometri og algebra sammen. Det er basis for all regning med komplekse tall, og alle litt avanserte kurs i matematikk og fysikk eller elektrofag og signalbehandling krever at man mestrer regning med i eller j som den også kalles noen ganger.

Det litt magiske med Eulers formel er at den på en så enkel måte forbinder så forskjellige deler av matematikken som sirkelen og trigonometriske funksjoner med logaritmer. Derfor er det ikke så mye mer å si, Eulers formel, eiπ+ 1 = 0, er rett og slett bare vakker!

Dette er andre innlegg i en serie som vil komme med ujevne mellomrom om vakre og viktige formler. Den første var Drakes ligning 23.1.2012.

9 comments

  1. Tilbaketråkk: Teologi og vitenskap: krysningspunkt, x-punkt, x-faktor, ukjent « Dr. Borgs salve mot svie
  2. Fredrik Meyer (@FredrikMeyer) · februar 12, 2012

    Som masterstudent i matematikk synes jeg den mer generelle formelen e^i*theta = cos(theta)+isin(theta) er mye vakrere og mer opplysende. Den forbinder nemlig multiplikasjon med e^itheta med rotasjon i det komplekse planet, og dette er i grunn alt hva kompleks analyse bygger på. (anbefaler spesielt Tristan Needham – Visual Complex Analysis for en utrolig vakker framstilling av kompleks analyse 🙂

  3. Sverre Holm · februar 13, 2012

    Er ganske enig med deg i det at den er fin, Eulers formel er jo et spesialtilfelle for theta=pi. Men det er likevel Eulers formel som pleier å komme først i diverse ‘skjønnhetskonkurranser’ om vakreste formel.

  4. Ivar Ola Opheim · februar 15, 2012

    Hei!

    Leste din artikkel, og vet at e er satt sammen av et uendelig antall brøker, for å si det veldig enkelt. Men i 1974 satte min mattelærer på reallinjen ved Lillehammer gymnas opp en utregning på tavla:

    e=2,718281828459045

    Altså to ganger Ibsen, og så lagde jeg min egen huskeregel:
    2. verdenskrig sluttet i 45, gang med to (90) og skriv som i Ibsen tallet to ganger; altså 45 en gang til.
    Jeg har aldri sett en lengre utregning siden, har du en lengre tallrekke enn dette, som ikke består av brøkene den er sammensatt av?

    For øvrig en interessant likning som utgangspunkt for mitt spørsmål.

  5. Sverre Holm · februar 15, 2012

    Takk for det. Republiseringen av artikkelen på Dagbladets nettside inneholder også mange kommentarer med diverse huskeregler, se http://www.dagbladet.no/2012/02/14/nyheter/vitenskap/forskning/matematikk/kollokviumno/20232319/?v=a

    Som det sies i en av kommentarene der, så er det jo ikke så ofte man trenger å huske dette – alle har jo kalkulatorer. Men moro er det jo likevel!

  6. Tilbaketråkk: Kollokvium – en fantastisk blogg « Dærnt's Corner
  7. Carbomontanus · januar 29, 2013

    Det var dette med Pi. Der er dere ikke helt utdannet enda. Unnskyld at jeg ikke har korrigert og opplyst om dette før.

    «Lær i tide å huske huskevers, pi huskes aldri med hodet….»

    Det rimet gir pi med 11 siffer. Tell bokstavene i ordene.

    Så er det smedens metode og den er viktig. Oppgaven er å jernbeslå et vognhjul eller legge stoff eller tøy eller papir omkring en rund ting. Eller lage runde blikkbokser. Dette må man lære i barnehaven, omtrent hvor langt det er omkring en rund ting.

    Da har man et jernbånd valsejern og legger hjulet 3 ganger bortover. Så må enheten altså diameteren halveres og det gjøres rett og slett på øyemål eller man ser på radius. Og halvparten må halvveres igjen, og igjen,… da er man nede i 0.125 og litt drøyt…. og litt må man også ha til omlegg og essesveis eller søm og eller fals og klink.

    All annen fomling enn som så er både uopplyst og ukvalifisert.

    Så må det også minnes om at 22/7 kommer meget nær pi og holder i praksis.

    Nok en formel er 4 artctan 1 .

  8. Arvid K. Gromholt · august 11, 2013

    Hei! Kunne du på en enkel måte forklare hvirdan «e» opphøyet i «i*Pi» kan bli minus 1?

    Arvid K. Gromholt

    • Sverre Holm · august 12, 2013

      Oi, det det der var en utfordring! Det bygger jo på Eulers formel. Det finnes to bevis for den på den norske Wikipedia-siden, men ingen av dem er vel spesielt enkle, i hvertfall ikke så veldig korte. Noen lesere som har noe bedre enn det?

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s