Vakre ligninger: Bølgeligningen

Bølgeligningen er en kort og enkel ligning med stor betydning. Det går knapt en dag uten at vi har nytte av den. Det er nok å snakke, for når lyden fra munnen din brer seg ut så følger den bølgeligningen. Det samme gjør lyden fra høyttaleren på radioen. Men heldigvis trenger vi ikke tenke på det sånn til daglig.

Noe av det mest fascinerende med denne ligningen er at den gjelder for så mange tilsynelatende helt forskjellige områder. Den gjelder for akustikk som nevnt, men også for radio og lys som er en helt annen type bølger.

Fra musikkinstrumenter til medisinsk ultralyd

En av de tidligste utledningene av bølgeligningen ble gjort av den sveitiske matematikeren Johann Bernoulli i 1727. Han lagde en modell for en fiolinstreng bestående av mange punktmasser som hang sammen med fjærer. Ved å kombinere Newtons 2. lov (F=ma) med Hookes lov for en fjær (F=kx) spratt bølgeligningen fram (Utledningen er her). Løsningen er en familie av sinuser som er harmonisk forbundet. Dermed hadde han trengt et godt stykke dypere inn i den mystiske forbindelsen mellom en av de mest abstrakte kunstformene, musikk, og det hardcore-realfaget som matematikk er. Dette var noe som pytagoreerne var fascinert av allerede 4-500 år f.Kr.

Strenger akkurat som på en fiolin, men dette er altså en gitar

Alle slags mekaniske vibrasjoner følger bølgeligningen, ikke bare fiolinstrenger. Det gjelder trommeskinn eller lufta inne i en trompet. Men det gjelder óg vibrasjoner i bakken fra et jordskjelv. Utbredelsen av de fascinerende ikke-hørbare signalene som delfiner og flaggermus sender ut for å orientere seg følger også den samme ligningen. Den gjelder óg for lyden fra et ekkolodd som treffer en fisk og kommer tilbake igjen samt for ultralyd i medisinsk avbildning.

Men med ultralyd begynner ‘friksjonen’ å bli så stor at vi nærmer oss grensen for hva den tapsfrie enkle bølgeligningen er god for, dessuten begynner mediet å bli ulineært. Men det er ofte bare et ledd eller to ekstra i ligningen så kommer disse effektene med. Det er et aktivt forskningsfelt å lage modeller for slikt tap, noe min gruppe jobber med og som vi hadde et seminar om i fjor.

Fra kortbølge til GPS 

GSM antenne (Wikipedia Commons, bruker Nieuw)

I dagliglivet spiller bølgeligningen en minst like stor rolle for en helt annen type bølger. Radio er stikkordet – og hvor mange radiosignaler møter du egentlig på en typisk dag? Din vekkerklokke er kanskje et radiostyrt ur som får tidssignaler trådløst fra gigantstasjonen DFC77 i Frankfurt og som så skrur på en FM eller DAB-radio. Når du står opp så sjekker du det trådløse termometret som leser utetemperatur via radiosignaler – og bølgeligningen. Mobilen din har i mellomtiden fått inn en SMS – trådløst – og du leser epost over det radiobaserte 3G-nettet.

Du går ut og åpner bilen din med en radiobasert nøkkel, du starter GPS-en for å finne fram – og tar dermed i mot nøyaktige tidssignaler via radio fra et nettverk av satellitter. På veien blir du tatt i en radarkontroll, politiet har nemlig sendt radiobølger som beskrevet av bølgeligningen mot bilen din. Politimannen varsler de som skal stoppe deg noen km lenger fram via Tetra, det nye radiobaserte nødnettet. I mellomtiden sitter du intetanende i en mobilsamtale – over trådløs GSM – i bilen din. Og da får vi håpe du ikke har glemt å bruke handsfree, for ellers er du bare to minutter unna ikke bare én, men to bøter! Hvis handsfree-en er trådløs så snakker den med mobilen din via Bluetooth som er enda et radiobasert system.

Det heldige for oss er at alle disse bølgene kan være rundt oss samtidig uten å ‘kræsje’. De påvirker ikke hverandre i det hele tatt sålenge de er forskjellige nok, f.eks ved at de har forskjellig frekvens. Linearitet kalles det på fint, og det er noe som bølgeligningen for radio oppfyller og som nesten alltid er oppfylt i akustikk også som nevnt over.

Jeg kunne ta med mange flere eksempler. Men alle skyldes innsikten fra Maxwells ligninger som når de kombineres ender opp som en bølgeligning for både det elektriske og det magnetiske feltet. Maxwell fullførte foreningen av disse to feltene i 1864. Ikke bare det, men bølgeligningen ga en verdi for hastigheten som viste seg å være den samme som var kjent for lys. Dermed var han et godt stykke på vei til å vise at lys og elektromagnetiske bølger var to sider av samme sak. Det vil si nesten da, for lys har jo også partikkelnatur.

Radionette Kurer fra 50-tallet med lang-, mellom- og kortbølge (også den spennende fiskeribølgen da!). Foto Sindre Skrede, Wikipedia Commons

Men bølgeligningen viste i hvert fall at elektromagnetiske felter kunne utbre seg akkurat som lys. Det skulle ta nesten 40 år før Marconi demonstrerte langdistanse kommunikasjon over Atlanteren (1901). Det startet etter hvert kringkasting på langbølge og mellombølge (1000-vis og 100-vis av meters bølgelengde), så kortbølge (10-talls meter bølgelengde). Deretter ble de enda kortere bølgene utforsket for radio, TV, mobiltelefoner og satellittsamband og de allestedsnærværende radiobølgene vi har i dag.

Ligningen og en tolkning

Bølgeligningen i enkleste form er \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. Den forbinder den 2. deriverte med hensyn på posisjon av feltet u med 2. deriverte i tid via utbredelseshastigheten, c. Feltet u kan enten være lydtrykket eller det kan være avvik fra likevekt i posisjonen til et tenkt molekyl i lufta. Men det kan også godt være det elektriske eller magnetiske feltet. I illustrasjonen over er vist den litt mer generelle 3-dimensjonale versjonen som skrives ved hjelp av Laplace-operatoren \nabla^2u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}.

Den enkle en-dimensjonale bølgeligningen er enklest å tolke hvis u er utsvinget på en streng fra likevektspunktet. Venstre side, den 2. deriverte av strengens fasong, er krumningen til strengen. Så jo krummere strengen er, dvs hvor lenger ut den svinger, jo større blir verdien. Men nå skal dette være lik høyre side som er proporsjonalt med aksellerasjon. Da sier dette at jo større utsving jo større blir akselerasjonen i motsatt retning. Det tvinger strengen inn mot likevekt og gir den en hastighet som gjør at den fyker forbi likevektspunktet og over til den andre siden, men der gjentar det samme seg så strengen tvinges tilbake – og voila så har man en svingende streng.


Lenker til de to figurene fra Wikipedia Commons: GSM antenne, Radionette Kurer radio 

5 comments

  1. Stein · mars 2, 2012

    boooring

    • -Star · mars 3, 2012

      Da er nok Se og Hør et godt alternativ for deg.

  2. Carbomontanus · mars 7, 2012

    Dette her er jeg slett ikke så fornøyd med.

    Det kan effektivt blokkere nyere generasjoner av akustikere og musikkakustikere, om de ikke er så heldige som meg å ha et noe annet og vesentlig annet erfarings og læregrunnlag for å kunne tilnærme seg emnet, nemlig erfaring med radiosendere og mottagere, og oppdatert ikke- klassisk fysikalske grunnbegreper heller fra den fysikalske kjemi om hva luft er for slags materiale.

    Man kan si det helt enkelt ved etpar hovedregler. Den som skriver C= lambda.ny og regner med det i rommet, skriver falsk og regner galt!. Ved bruk av bokstaven «C» og at det er en fysisk størrelse i rommet som man kan regne med, kan man sette den læreboka eller avhandlingen tilbake where it belongs, in the library dusts!

    Det neste er «Psi» og kalt «En kompleks operator» . Det kan settes rett tilbake, den teorien der er ikke brukbar og fruktbar i akustikken.

    Det er like høl i8 hue og klønete som å begynne å regne med lyshastigheten eller med «psi» inni et sammensurium av kobber og aluminium og porselen og glimmer og glass og citronsyre. Lambda og ny er der og amplitydene med, men multip0liser aldri lambda med ny og regn med det, ikke engang i nærheten av en sterk lydkilde eller en radiosender. Lydhastigheten i bestemt form entall er gammel overtro, det er en grensetilstand eller en idealisering for når mkan kommer langt nok vekk fra en kraftig lydkilde, et musikkinstrument for elksempel , eller når man nærmer seg den absolutte stillhet. Denne karakteristiske fysikalske kjennsgjerning står der helt lysende og tindrende klart allerede på oscilloscopet- Linear acoustics med lineærelastisk felt og samme lydhastighet for alle relevante frekvenser er en idealisering , og såkalt «Unlinear acoustics» hvor man ikke multipliserer lambda med ny og regner med det i feltet eller rommet er den reelle virkelighet.

  3. Sverre Holm · mars 8, 2012

    Vi er veldig fornøyd med den responsen kollokvium har fått, men tror nok likevel ikke at den er avgjørende for hva slags bakgrunn «nyere generasjoner av akustikere og musikkakustikere» vil få.

    Men vår webside om bølgeutbredelse går langt videre i forhold til stykket over. Fokus der er bølgeutbredelse for medisinsk avbildning. Der har vi artikler fra Journal of the Acoustical Society of America de siste årene med modeller for ikke-lineær akustikk, dvs der materialegenskapene og lydhastigheten varierer med amplituden. Den inneholder også modeller for dispersive medier der lydhastigheten varierer med frekvens. Se http://www.mn.uio.no/ifi/english/people/aca/sverre/anomalous.html

    Dette er utrolig spennende forskningsfelter, men likevel er det forbløffende å se hvor stort gyldighetsområde den enkle, tapsfrie bølgeligningen har – slik som beskrevet over.

  4. Carbomontanus · mars 8, 2012

    Sverre Holm

    Jeg må nok bare vedholde hva jeg har hevdet, og tilføye at utover artium, Brun og Devig bølger lyd og lys har jeg knapt lært voe vesentlig av fag- akustikerne bortsett fra endel få unntak, og det innebærer og betyr det alvorlige at faget akustikk jevnt over er feil- forankret til å kunne takle selve oppgaven, idet jeg har meget større nytte av andre horisonter innen science.

    Den bølgeligningen faller elementært for eliminasjonsmetoden. Den inneholder bokstaven «C» og er et dobbeltdifferensial på brøkstrek. Og synes å behandle atomet i bestemt form entall bevegende seg på klassisk tørrstofflig mekanistisk maner i det absolutte rom opphengt i en spiralfjær. Det er en grunn- falsk teori om luften heller fra pre- mikrofonisk og pre- oscilloscopisk tidsalder.

    Et ganske avgjørende premiss forat en pnevmatisk oscillator skal kunne fungere i det hele tatt, synes knyttet til at luften ikke er en ideell gass.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s