Tre-planets mazurka

sn-threebodyFysikere sliter med å regne på mer enn to ting på en gang. Derfor jubler de nå over oppdagelsen av en drøss med nye løsninger av trelegemeproblemet som to serbiske fysikere har funnet. Hva i alle dager er trelegemeproblemet, hva har det noe med solsystemet, helium og kaosteori å gjøre, og hvorfor har det holdt de skarpeste fysikerne og matematikerne våkne om natten i hundrevis av år?

Fysikere er på en evig jakt etter såkalte «eksakte løsninger» av fysikkproblemer. Spesielt gjevt er trelegemeproblemet i gravitasjon: kan man finne eksakte uttrykk for tre himmellegemers samtidige bevegelse, sånn at de oppfyller Newtons lover eksakt?

Sir Isaac Newton i 1689

Rockelegenden Brian May … nei, Sir Isaac Newton i 1689 (Bilde fra Wikipedia)

For å finne eksakte løsninger, må vi først kjenne lovene som styrer legemene. Det var barokkens vitenskapelige rockestjerne Sir Isaac Newton som fant disse i 1686: to himmellegemer tiltrekker hverandre med en kraft proporsjonal med hvert legemes masse og inverst proporsjonalt med kvadratet av avstanden mellom dem:

F = -G \frac{m_1 m_2}{r^2}

(Anekdoten om det fallende eplet er forresten ganske sikkert ikke sann. Dessuten var det litt av en kontrovers på den tiden, hvem som skulle krediteres for oppdagelsen. Les mer om det på Wikipedia.Har man tre legemer må man ta høyde for kreftene mellom hvert par av planeter. Dette leder til et komplisert likningssystem som beskriver bevegelsen av trelegemeproblemet.

Illustrasjon fra Newton's Principia

Illustrasjon fra Newton’s Principia, fra en seksjon som diskuterer ellipsebaner (hentet fra Wikisource)

For to legemer er en komplett klassifikasjon av absolutt alle løsninger relativt enkelt å løse med moderne matematiske metoder – førsteårsstudenter i fysikk gjør det som en standard øvelse. Isaac Newton var den første til å løse dette, og det var litt av en bragd  – han oppfant samtidig de metodene som studenter og professorer bruker den dag i dag, såkalt differensialrekning. Newton fant at alle baner er ellipser, dersom de ikke har så stor bevegelsesenergi at de er parabler eller hyperbler, da.

Heinrich Bruns i 1908

Heinrich Bruns i 1908 (Bilde fra Wikipedia)

Men går vi til tre legemer blir det brått mye mye vanskeligere. Etter 200 år med prøving og feiling av de skarpeste hodene viste til slutt tyskeren Heinrich Bruns at det ikke er mulig å finne en komplett løsning. Ok, kjipt det. Men gitt at vi ikke kan finne en komplett løsning, kan vi likevel vise at – for eksmepel – trelegmeproblemet er stabilt? Det vil si, dersom tre planeter eller noe går i bane om hverandre, er denne banen robust overfor forstyrrelser, er banene mer eller mindre forutsigbare?

Til ære for svenskekungen (og også kongen over Noreg) Oscar II sin 60-årsdag utlyste man en matematikkonkurranse der ett av problemene var å vise at trelegemeproblemet var stabilt. Den franske matematikeren og fysikeren Henri Poincaré, superstjerne og smarting, var favoritt til å vinne. Han sendte inn et essay til Acta Mathematica for å bevise at, ja, trelegemeproblemet er stabilt. En svensk matematiker ved navn Edvard Phragmen påpekte imidlertid et par små feil i manuskriptet. Poincaré klødde seg i hodet, regnet videre, og oppdaget til sin store forferdelse at trelegemeproblemet var ustabilt! Han oppdaget rett og slett kaosteorien: generelle baner til trelegemeproblemet er kaotiske og går bananas ved den minste forstyrrelse.

Henri Poincaré

Henri Poincaré (1854–1912), fransk matematiker som oppdaget kaosteorien. (Bilde fra Wikipedia)

En interessant konsekvens av dette er at solsystemets tilsynelatende pene og pyntelige bevegelse også er kaotisk. De pene og pyntelige ellipsebanene forandrer seg med tiden, og en eller annen gang i fremtiden kan en planet eller flere bli slynget vekk. Kanskje har det allerede skjedd. Dette forlarer også hvorfor det er interessant å studere eksakte løsninger av fler-legemeproblemet. (Det har også teknologiske anvendelser, det kommer vi tilbake til.)

(En liten digresjon: Denne historien har en interessant parallell i kvantemekanikken. Dansken Niels Bohr lagde sin atommodell av hydrogenatomet i 1913 – et tolegemeproblem (der kreftene er elektriske krefter som faktisk har samme form som gravitasjonskreftene). Tilsvarende modell for helium, som har 3 legemer, viste seg å ikke være like enkel å finne, av samme grunn som trelegemeproblemet i gravitasjon ikke er så enkelt. Det var nordmannen Egil Hylleraas som viste at kvantemekanikken likevel kunne brukes på helium. Mer om dette en annen gang … )

Tilbake til trelegemeproblemet i gravitasjon. Det lar seg altså ikke løse i den forstand at en generell, komplett klassifisering av løsningene ikke er mulig. Men spesielle eksakte løsninger kan vi kanskje finne. Kanskje kan vi også finne stabile ikke-kaotiske løsninger. Da snakker vi om periodiske baner, det vil si løsninger som gjentar seg omtrent som en pendel. Og vi spesialiserer til et trelegemesystem der de tre legemene er identiske. Altså snakker vi om tre identiske planeter, for eksempel.

Leonhard Euler

Leonhard Euler (1707–1783), litt av en skarping, selv med et kjøkkenhåndkle på hodet. (Bilde fra Wikipedia)

Leonhard Euler og Joseph-Louis Lagrange – også disse er storheteter og megakjendiser blant fysikere og matematikere den dag i dag – fant noen eksakte løsninger på 1700-tallet. Så måtte vi vente til 1970-tallet før noen flere løsninger ble funnet av Roger Broucke og Michel Hénon. De brukte datamaskiner for å finne løsninger via simuleringer.

Euler studerte løsninger der alle planetene beveger seg langs den samme rette linjen, disse kalles kollineære med et fint ord. Euler fant også fant en der én planet er i ro og de to andre går i bane rundt. 

Denne løsningen er imidlertid ustabil: om en av planetene blir bittelitt forstyrret, går hele den synkroniserte bevegelsen ad undas.

En fact du kan brife med ved neste middagsselskap er at Planck-satellitten er plassert i det såkalte Lagrange-punktet L2 (det finnes totalt 5), slik at systemet sol-jord-satellitt går i en stabil trelegemebane! (Men det var faktisk Euler som oppdaget L2, ikke Lagrange … ) Alle Lagrange-punktene er slik at et lite objekt plassert der blir del av et stabilt trelegemesystem.

Lagrangepunktet L2

Lagrangepunktet L2, der Planck-satelitten ligger (bilde fra Wikipedia)

Vi har også denne løsningen fra Lagrange, der de tre planetene til enhver tid danner en likesidet trekant. Denne er stabil: små forskyvninger vil ikke påvirke banene noe særlig:

Euler og Lagrange sine løsninger

Eulers løsning (venstre) og Lagrange sin løsning (høyre)

Etter Euler og Lagrange var det stille en stund. I 1993 ble en artig løsning funnet av amerikaneren Christopher Moore. Her beveger planetene seg i et åttetall, slik (klikk for animasjon):

Åttetallsløsning

Åttetallsløsning

Fremgangsmåten i dag er å ty til datamaskiner, og programmere disse slik at de søker etter eksakte løsnigner som har en bestemt form. Det vil si at man gjetter sånn cirka hvordan en løsning bør være, og så gjør datamaskinen det skitne arbeidet. På denne måten har man funnet ganske spektaktulære saker for det mer generelle n-legemeproblemet. Åttetallsløsningen over er et eksempel på løsninger som kalles «n-legemekoreografier«: her beveger de n planetene seg langs den samme lukkede kurven, med jevn avnstand – omtrent som om de danser jenka. Se bare på denne her:

Utover de løsningene som er beskrevet over, er det sparsommelig gitt. Problemet med å lete etter løsninger er at man har ganske få retningslinjer å gå etter. Hvordan skal en løsning se ut? Man må rett og slett gjette. Videre er det sparsommelig med informasjon om generelle egenskaper til banene. Finnes det hele familier med løsninger med de samme egenskapene? Hvordan kan vi finne disse?

To serbiske fysikere gjort et kvantesprang innen trelegemeverdenen:  Milovan Šuvakov og V. Dmitrašinović har funnet hele 15 nye eksakte løsningerVidere gjør de en såkalt topologisk klassifisering av løsningene. Alle de løsningene som er beskrevet til nå, fra 1700-tallet og utover, faller inn under den samme topologiske klassen. Serberne har funnet tre nye klasser med løsninger. Dette er ganske så oppsiktsvekkende, og representerer et ganske så stort steg fremover i trelegemeverdenen.

Illustrasjon av form-rom-kule

Dette er en illustrasjon av form-rom-kulen samt et eksempel på en periodisk kurve de serbiske forskerne fant. Som vi ser er kurven forholdsvis komplisert! (Illustrasjon fra originalartikkel.)

En «familie» med løsninger er ikke bare én løsning, men en hel klasse med løsninger, en «type» løsninger. Koreografiene er for eksempel ganske varierte (se animasjonen over), men likevel er de alle ganske enkle i konstruksjonen, og hører til den nevnte første klassen. På bildet over (og helt øverst i artikkelen) ser man et eksempel på en hittil ukjent løsning, og vi ser at den er ganske annerledes. Her er en til:

Trelegemeløsning

Eksakt løsning av trelegemeproblemet funnet av serbiske forskere (kilde: Suvakov sin nettside)

Fysikerne gjode store mengder med datasimuleringer for å finne løsningene. De konsentrerte seg om tre legemer i planet, det vil si at de ignorerte én romlig dimensjon. Videre fokuserte de på løsninger som eventuelt måtte ha en viss symmetri, slik som illustrasjonen over indikerer. På Milovan Šuvakov sin egen nettside kan man se mange fler.

Ett av de smarte grepene de gjorde var å gjøre et nøye studium av topologien periodiske løsninger, det vil si at de studerte egenskaper som alle periodiske løsninger må ha. Begrepet «topologisk egenskap» vil si en egenskap som er bevart under deformasjon. For eksempel er en smultring og en kaffekopp med hank begge eksempler på overflater med ett hull. Å ha «ett hull» er en egenskap som er bevart ved at man vrir og  vrenger på legemene som om de var leire, uten å rive, slite eller brette. Smultringen og kaffekoppen er derfor eksempler på den «samme flaten i rommet».

Serberne brukte noe de kalte en «form-rom-kule» («shape space sphere») som beskriver topologiske egenskaper ved løsningene de fant. Så alle løsningene innenfor den samme familien tilsvarer noe som er såkalt «topologisk ekvivalent» på denne form-rom-kulen. Topologitrikset gjorde at mange flere løsninger kunne bli funnet.

Rimelig avanserte greier med andre ord!

Jakten på eksakte løsninger vil nok fortsette, og jeg tror serberners arbeid vil føre til en boost i så måte. Arbeidet ble publisert i tidsskriftet Physical Review Letters, og kan leses gratis her.

7 comments

  1. Carbomontanus · mars 11, 2013

    Dette er stor- artet og må ut i bokform.

    Man kan selv gjøre et forsøk, en jernkule som henger og dingler i en fiskesene. Den dingler meget pent. Men legg en liten og kraftig magnet like ved der pendelen passerer bånn. Observer,…

    Grunnen til at Newton gikk med parykk var ikke at han hadde fått et eple i hue slik mange tror, men for å skremme expertene på gata. Han var nemlig offentlig påtalemyndighet på vegne av den kongelige mynt og trakk expertene for retten, og der måtte han stille med parykk. Og begjæret at Retten skulle stille bevis for expertenes rettigheter og plikter. Plikten til å stille på Tower og retten til der å treffe et fritt valg mellom tau og høggestabbe.

    Mente expertene seg hevet over slike latterlige frie valg i gradene kunne Retten fremdeles med heimel i lov stille bevis for expertenes adgang til å føre sverd. Og således sikte kongemaktens til enhver tid beste sverdfekter i stilling på livstid, og nestbeste som mat for ravnene, fremdeles på Tower.

    Det var mot gullmakeri og falskmyntneri, ADVLTERARE. Mange synes kanskje det var feigt, til og med grusomt av ham. Men det er syndig å drive folk fra går og grunn og ut i den svarte armod bare med messing. Det var mot Virtuelle penger og verdier.

    Nå har jeg gitt Sir Isaac stor heder hos Samset, for å ha levert en meget effektiv metode for å forklare BANG!irommet, med utgangspunkt i å smelle i lufta med en pisk.

    Da jeg så Levy Schoemakerkometen treffe Jupiter som perler på en snor etter å ha løst seg opp til å bli nærmest perler på en snor ved forrige passasje, skjønte jeg at Newton virkelig ikke er til å spøke med.

    Hvis man befinner seg i rommet iro og i avstanden r fra solen og trekker en pistol og sikter ut i romvinkelen fi forskjellig fra rett på sola, og trekker av….. så må man flytte seg, for den kula vil komme tilbake og treffe en i bakhodet rett bak det øyet man siktet med efter ett omløp.

  2. Simen Kvaal · mars 11, 2013

    Hei, og takk for hyggelig kommentar med artige musiseringer!

  3. Stian M · mars 11, 2013

    Veldig spennende! Vil objekter som Planck som befinner seg i L2 være helt upåvirket av månen? Den utgjør vel et fjerde legeme, men er kanskje ikke massiv nok til å utgjøre en forskjell?

    • Simen Kvaal · mars 13, 2013

      Hei, og takk for kommentar! Jeg beklager det sene svaret fra meg. Spørsmålet ditt er godt, og jeg er overhodet ingen ekspert på Lagrangepunkter, så jeg måtte tenke litt. Ifølge Jostein (medblogger) er L2 egentlig basert på beregninger der man ser på jord-måne som ett legeme. Det er nemlig slik at de er så tett innpå hverandre (250 000 km), og månen er så liten (1/80 av jordmassen), at massesenteret er inne i jorda. Så sett fra Lagrangepunktet er jord/måne til en veldig god tilnærming ett legeme. Håper dette svarer på spørsmålet ditt!

  4. Kjell Ingvaldsen · mars 12, 2013

    Var ikke Oscar II konge av Norge, da, på sin 60-årsdag?

    Kjell Ingvaldsen

    • Simen Kvaal · mars 12, 2013

      Hei! Jo, det var han visst! Takk for opplysningen, den er nå lagt inn.

  5. Carbomontanus · mars 16, 2013

    Skavvissesann

    Her kan vi exellere enda litt mer i elementær chosmologi.

    Hvis vi setter en melkekartong med vann på stranda så er tyngden temmelig nøyaktig 1 Kilopond. Dette bør vi ha som standard efter pariseskolen at en liter vann veier en kilo. Skal vi ha et fast legeme så legger vi den i fryseren over natta og tar av kartongen.

    Hvor mye trekker månen på den melkekartongen?

    Avstanden til månen er normalt sånn temmelig omtrent 60 ganger jordens radius.
    Så vi ser litt på

    f = (g m1 m2) / r^2

    og finner at 1/60 må kvadreres. Det blir 1/3600. Så er månens masse iflg Simen Kvaal 1/80 av jordens. og multiplserer 1/3600 med 1/80. Det blir 0.0000034 som tilsvarer vekten av 3.4 milligram. Som er veldig smått, så¨vi plasserer heller en mann på 100 Kg på standa, det er en svær mann. Trekket fra månen hit eller dit alt etter hvor månen står vil da bli 340 milligram, som er nøyaktig 1/3 sukkerbit eller 1 1/2 globoid i lomma på den mannen.

    Vi kan også regne om i antall dråper piss hit eller dit og det er lett, for 1 dråpe er 50 milligram, 20 dråper er en milliliter, det er et gammelt og pålitelig apoteker- mål, og det gir nøyaktig 6.8 dråper piss.

    Så bør vi drøfte hengeloddet. Det er ei snor fra taket med et spisst lodd av metall. De som kjenner hengeloddet vil vite at de aldri henger i ro og man må passe på vindstille om man skal ha nøye mål. Da sikter man på øyemål og setter av et merke midt i den lille ellipsen som hengeloddet dingler i. Ellipsen synes veldig vanlig og allmenngyldig. Intet, ingen planeter og ingen planetbaner er helt runde. Det sirkler ikke, det går i ellipser som den enkleste rundgang. Kometene går garantert heller ikke i parabler slik det står i gamle bøker, det er meget langstrakte ellipser i tilfelle. Men det er observert at de kan forlate vår nærhet på hyperbelbaner og da er vi kvitt dem. Ingen har arrivert på hyperbelbaner for det er likeså ganske usannsynlig. Men med en gunstig vipp fra en av de større planeter, så er vi altså kvitt dem forever.

    Christopher Hansteen siktet med teodolitt og trådkors ned i et kvikksølvbad som lå som et speil 3 meter nede i kjellern for å finne presist lodd. Det badet er viskøst dempet. Det samme kan vi gjøre med hengeloddet, vi kan henge det ned i et glass med lys sirup eller gearolje og sikte opp igjennom bunnen på det glasset med speil og teodolitt eller snarere microscop, og der setter vi en prikk med ringer rundt, som loddet skal peke på. Månen vil så dra det loddet hit eller dit sideveis om den står i øst eller vest. Hvor mye?

    Det vil dras ut til siden lengden l men fordi snorlengden eller takhøyden H er konstant så vil loddet heves den lille høyden h i jordens gravitasjonsfelt. Og h / l = l / H

    Så vil også h / l være forholdet mellom jordens og månens trekk på loddet, og vi setter jordens trekk lik 1

    vi løser ligningen med hensyn på l og finner at l = roten av hH hvor h = 0.0000034 og H er takhøyden i meter. Ved 3 meter under taket finner vi med kalkulator at loddet dras 0.0031937 meter ut til siden maximalt. Det er 3 millimeter.

    Neste apparat er Wateret. Det er en vilkårlig lang haveslange fylt med vann og et glassrør i hver ende for å vise vannstand, hvor vi kan sikte vannstanden helt presis under minisken og merke av. Dette apparat vil være utsatt for de samme tidevannskrefter. Det er praktisk talt neglisjerbart i ei lang takrenne for eksempel, og med vannsøl på en absolutt plan linoleum.

    Vi ser, at allerede med hengelodd og water og sirup og gearolje og en liten kikkert og et speil samt en lang haveslange og noen glassrør, så kan man forske elementær chosmologi.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s