Goldbachs formodning er endelig løst!

Bilde av H.A. Helfgott

Harald Andrés Helfgott, matematiker (bilde: Bristol universitet)

I dag kan Kollokvium.no enda en gang bringe spennende nytt fra matematikkfronten! Sist gang dreide det seg om ABC-formodningen fra tallteori. Vi holder oss fortsatt innen tallteori, og denne gangen er det Goldbachs formodning som står for fall, nærmere bestemt «den svake Goldbachs formodning». Dette er også et uløst problem, over 270 år gammelt!

Halald Andrés Helfgott ved École Normale Supérieure i Paris har nettopp gjort ferdig et 133 siders manuskript med et bevis. Helfgott er opprinnelig fra Peru, tok PhD ved Princeton, og har vunnet flere priser for sitt arbeid. Han er altså ganske kjent i matematikkmiljøet, og beviset skal nå kvalitetssikret av andre matematikere. Så vidt denne bloggeren forstår, er arbeidet til Helfgott godt kjent, og man har egentlig ventet at matematikkmiljøet skulle komme med et bevis i løpet av forholdsvis kort tid. For eksempel er en av matematikkens rockestjerner Terence Tao overbevist om at Helfgott har løst problemet.

I 1742 skrev matematikeren Christian Goldbach et brev til Leonhard Euler (en berømt ringrev i matematikk og fysikk) der han i margen påstod at:

Ethvert heltall større enn 2 kan skrives som en sum av to primtall.

En slik matematisk påstand – uten bevis – kalles en formodning. Vi kan kalle det en matematisk kvalifisert gjetning. Man går ut fra at det er sant, for man har mye indisier, men ennå ikke noe bevis.

Bilde fra Futurama.

Bilde fra Futurama-filmen «The Beast With A Billion Backs». Enkle bevis av Goldbachs formodning blir funnet i «himmelen».

Matematikere har vært veldig opptatt av Goldbachs formodning, og mange har viet store deler av sin karriære til å bevise den. For eksempel, i 1938 sjekket finnen Nils Johan Pipping formodningen opp til 100 000 – manuelt! (Med computere har man sjekket formodningen opp til 1017 .)

Opp gjennom årene har matematikere delt Goldbachs formodning i to utsagn: Den «sterke Goldbachs formodning» og den «svake Goldbacks formodning». Helfgott har bevist sistnevnte, som sier at:

Ethvert odde heltall større en eller lik 7 kan skrive som en sum av tre primtall.

Faksimile av Goldbachs brev til Euler

Brevet fra Goldbach til Euler (fra Wikipedia)

Man kan vise at den svake formodningen følger av den sterke, dersom denne er sann. Men denne er altså ikke bevist. Man har altså litt igjen før den fulle formodningen til Goldbach er bevist.

La oss ta noen eksempler på hva Goldbachs formodning sier. Primtall er tall som kun er delelige med 1 og seg selv, for eksempel 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 og 1299827. (Før i tiden regnet man også tallet 1 for et primtall, men det gjør man ikke i dag.)

Goldbachs formodning sier nå ganske enkelt at alle odde heltall større enn 7 (altså 9, 11, 13, osv) kan skrive som summen av tre primtall. For eksempel

17 = 3 + 3 + 11

Det er ganske artig å sette seg ned for å finne slike eksempler. Ingen moteksempler har vært kjent, og kommer nok neppe til å bli funnet.

G.H. Hardy (1877–1947), britisk matematiker

G.H. Hardy (1877–1947), britisk matematiker (Wikipedia)

Hvorfor studerer matematikere slike ting? Tallteori er læren om heltallene, og spesielt primtall. Det er blant de mest abstrakte formene for matematikk, og for hundre år siden var det kanskje vanskelig å se nytten av det. Kanskje så man på tallteori som en ren form for vitenskap, som ikke var besudlet med anvendelser i teknologi, krigføring, og så videre. I 1940 skrev Haralds navnebror, Godfrey Harold «G.H.» Hardy om sitt studium av primtall:

Jeg har aldri gjort noe «nyttig». Ingen av mine oppdagelser har utgjort, og det er heller ikke sannsynlig at de vil utgjøre, direkte eller indirekte, på godt eller vondt, den minste forskjell for verdens fremgang.

Lite visste man den gangen at tallteori og primtall i dag er helt essensielle verktøy innen kryptografi og datasikkerhet.

Kilder:

http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved
http://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach’s_conjecture
http://en.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy

11 comments

  1. Anders Kristian Krabberød · mai 21, 2013

    Interssant! Men det ser ut til at det er en feil i artikkelen: det står at den svake varianten av formodningen er «Ethvert odde primtall større en 7 kan skrive som en sum av tre primtall». Det burde stå «Ethvert odde heltall større en 7 kan skrives som en sum av tre primtall.»

  2. Simen Kvaal · mai 21, 2013

    Hei, og takk for rettelsen! Det gikk litt fort i svingene, og det beklager jeg.

  3. Carbomontanus · mai 21, 2013

    Da har dere orden på tingene.

    Men at 1 ikke lenger er primtall både skuffer og foruroliger meg.

    Jeg bruker det til å regne med men jeg bruker det også i harmonikken hvor man må holde orden på de små primtall og deres innbyrdes proporsjoner.

    Hvorfor det?

    Jo fordi at for å få til pene toner og klanger så må klangfigurene som det kommer fra være coherente og laminære og ha en pen og helhetlig numerisk form nettop gitt ved de små primtall, ellers blir det bråk og chaos og stygge lyder.

    Så en viktig ting til. Om man skal undersøke om en numerisk formel er så enkel som råd er, så må man se hva den er bygget opp av i form av primtall. Andre tall kan «slaktes» men primtallene kan ikke slaktes videre. De er unike og står der. Og de er utrykk for tingenes mulige symmetrier.

    Dette kan dere trene på i blomstene og i floraen.

    Det var nå litt sært da av denne Hardy å si at han ikke har gjort noe nyttig, for jeg holder det for å være svært praktisk og nyttig å holde rede på de små primtall.

  4. Filip Nicolaisen · mai 21, 2013

    Ja, hva pokker Kvaal? Hvorfor har du fjernet 1 som primtall? Hva blir det neste, at Pluto ikke lengre er en planet?

    • Hvis 1 var et primtall, ville vi ikke hatt unik faktorisering. Så matematikere har bestemt at det ikke er et primtall. Hilsen matematiker.

      • Carbomontanus · mai 21, 2013

        Har dere holdt håndsopprekning nå igjen da, eller hva er det?

  5. Hei, bra med matematiske blogginnlegg, men litt vel sensasjonell overskrift? Artikkelen og overskriften ganske forskjellige ting.

    • Simen Kvaal · mai 21, 2013

      Hei, og takk for kommentar! Jeg er poenget ditt, men er ikke enig i at det er så stor forskjell på innhold og overskrift. Den ene halvdelen, så og si, av den moderne formuleringen av formodningen er (formodentlig!) løst. Det er vanskelig å formulere en fengende tittel som samtidig skal være absolutt korrekt.

  6. Bjørn Sørhøy · mai 21, 2013

    En feil her:
    «Goldbachs formodning sier nå ganske enkelt at alle odde heltall større enn 7 (altså 9, 11, 13, osv) kan skrive som summen av to primtall. For eksempel»
    Det skal vel være _tre_ primtall.
    Ellers var dette en spennende artikkel 🙂

    • Simen Kvaal · mai 21, 2013

      Hei, og takk for at du sier fra om feilen. Gjorde den opp til flere ganger, siden jeg formulerte den seksjonen flere ganger med ulike versjoner av formodningen. Så det gikk litt for fort i svingene …

  7. Carbomontanus · mai 21, 2013

    Her er jeg innbitt og hårsår

    Og hvis Simen Kvaal vil noen vei i matematikken, så anbefaler jeg ham autoritært å se opp for og merke seg den mest elementære pytagoreisme.

    Der 3. wird schon einig
    mit eins und nummer 2
    vorausgesetzt dass, einer
    hat nr. 2 dabei.

    Was einer weiss, weiss niemand
    das zeigt uns jenes Ei.
    Erst als Columbus 2 fand,
    dann kam das Kenntnis frei.

    D`rum, um die Welt zu ändern
    mact`s gut mit nr. 2,
    dann läuft in allen Ländern
    das Kenntnis 1,2,3,……….

    Det er om GOD- teorien i Musikkakustikken, Grunntone, Octav, Duodecima.

    Dann hat sich das.

    Men for å få utbredt den teorien, så må man ha noen til å begripe den nemlig en nr 2.

    men er ikke 1 der så er ikke 2 mer enn 1 det heller og det holder ikke. Men er 1 og 2 der så er de i flertall og den 3.dje gir seg og da er det gjort. Godt begynt er halvt fullendt. Det gjelder bare å ha riktig teori og måte i starten.

    Hva gjelder egg så har vi høna og egget. En pervers forestilling, for den er jo manns- diskriminerende. Hva med Hanan?

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s