KVAK 7. desember: Når en appelsin er to appelsiner

Kollokviums Vitenskapelige AdventsKalender (KVAK):

7. desember: Når en appelsin er to appelsiner

Matematikk kan være sære greier. Der fysikken må forholde seg til trivialiteter som masse- og energibevaring, har matematikere ess i ermet. Ta for eksempel det såkalte Banach-Tarski-paradokset.

Gitt en kule, så kan man dele den opp i et endelig antall biter (nærmere bestemt 5), flytte rundt på disse uten å brette, strekke eller rive, og sette de sammen igjen til to nye kuler, hver med samme volum som den opprinnelige. Denne forflytningen kan også gjøres på en sånn måte at bitene ikke krasjer med hverandre.

Illustrasjon av Banach-Tarski-paradokset

Illustrasjon av Banach-Tarski-paradokset

Altså, 1 appelsin = 2 appelsiner. 

Banach-Tarski-paradokset er et resultat innen mengdelære. Dette er læren om samlinger av matematiske objekter. En kule bestående av idealiserte punkter i rommet er en slik mengde, og resultatet sier alstå noe om hvor merkelig matematiske mengder kan være.

Resultatet er et paradoks, for det strider mot sunn fornuft og den intuisjonen vi har om masse og rom. Men det skal sies at de 5 bitene kulen deles i er veldig «sære» biter, som ikke kan realiseres fysisk. De består av uendelig mange punkter, som en slags støvsky. Det gir faktisk ikke mening å måle volumet til hver bit. Dermed er det et smutthull så og si, som lar en sette sammen 5 biter av en kule til to nye kuler.

Les mer om Banach-Tarski-paradokset på Wikipedia.

KVAK gir deg små daglige vitendrypp gjennom hele advent. Har du tips til lenker vi bør dele? Send gjerne til b.h.samset@gmail.com, kom innom facebook-siden vår, eller tweet til @kollokvium_no.

5 comments

  1. Carbomontanus · desember 7, 2013

    Det er noe muffens her, og jeg så etter på Wikipedia som henvist til og der er det helt klart. Det er pepperkakedeig sånn som man driver og kjevlet og så deler de opp og strekker på deigen og setter sammen igjen og da blir det dobbelt så stort. Men det er jo rett i strid mot et av premissene, at man ikke skal strekke på ting men tage hva man haver.

    Tenk på budsjettet og tenk på veden, men der har vi nok for begge deler så det skal nok bli jul iår også.

    Jeg tror ikke dette her er noen brukbar teori for å kunne berge hverken det amerikanske statsbudsjettet eller det norske hus og lånebudsjettet. Det er bare trix og bløff men bløffen er helt lett å gjennomskue bare man ser litt nøyere etter hva som foregår.

    • Simen Kvaal · desember 7, 2013

      Takk for kommentaren! Det er faktisk slik at bitene ikke blir strukket eller revet i … ! Forstå det den som kan. Jeg er enig i at det er lite nytt av fysikk å hente i dette abstrakte matematiske resultatet, men i seg selv synes jeg det er veldig interessant.

  2. Fredrik Meyer (@FredrikMeyer) · desember 7, 2013

    For de interesserte (med litt bakgrunn i matematikk), kan jeg reklamere litt for mitt eget MAT2000-prosjekt på UiO, der jeg beviste Banach-Tarski-paradokset, og også viste at for et kuleskall, holder det med 4 biter. http://folk.uio.no/fredrme/BanachTarski.pdf

  3. Simen Kvaal · desember 7, 2013

    Hei! Så kult at du jobber med dette. Jeg har lest de første 2 sidene av paperet, og fortsetter på resten. Men tror du virkelig at kardinaliteten til universets «punktmengde» (om det gir mening i det hele tatt) er endelig? Om det finnes en «planck-lengde», impliserer det virkelig at rommet deles i et endelig antall biter? Riktignok nevner du det bare i forbifargen, men jeg bare spør!

    Har du forresten lest «Infinity and the mind» av (matematikeren) Rudy Rucker? Den er ganske artig.

    Fortsatt god advent!

  4. Talbot · januar 23, 2014

    Dette må da kunne brukes som ide innen science fiction?

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s