I de høyere sfærer …

Denne artikkelen handler om hva som kan skje i høyere dimensjoner. Du vet, når vi beveger oss fra kjedelige 3 dimensjoner opp i hundrevis eller tusenvis av dimensjoner. Mennesket har utpreget god intuisjon om 1, 2 og (til dels) 3 dimensjoner, men når vi beveger oss utover dette går det ofte galt.

I min forskning (kvantekjemi) jobber jeg så og si alltid med uendelig mange dimensjoner, såkalte Hilbertrom og Banachrom. Da blir ting virkelig merkelige. Derfor er tankeeksperimenter slik som de vi gjør her viktige, slik at vi kan holde tunga rett i munnen og ikke gå i «intuisjonsfella». Som en professor sa, «In Hilbert space, finite dimensional intition is a bad guide.»

Vi skal snakke om kuler. Hva er en kule?

En kule i én dimensjon er et linjestykke, og i to dimensjoner er det en fylt sirkel. Her er en kule i 3 dimensjoner, slik M.C. Escher så den:

Hand_with_Reflecting_Sphere

Fra den offisielle M.C. Escher websiden, Fair use, https://en.wikipedia.org/w/index.php?curid=9174116

Hvordan er en 4-dimensjonal kule, en «hyperkule»? Det er vanskelig å forestille seg. Her kan det være nyttig å se på hvordan en 3-dimensjonal kule forholder seg til en 2-dimensjonal verden. Forestill deg at du «lever» i 2 dimensjoner; eller «flatland», engelsk eller norsk, you choose. I denne verdenen kan du kun se se i 2 retninger. Det som finnes «utenfor» klarer du ikke forestille deg engang. Nå kommer en kule fra den 3. dimensjon susende mot din verden. Den farer gjennom og videre i den 3. dimensjon:

flatland1

Illustrasjon fra «Flatland» av Edwin Abbott Abbott (1884). Dette er en fantastisk bok, og anbefales på det varmeste.

Hva ser så du? Jo, ut fra intet dukker en kule, det vil si en sirkel, opp. Den blir større og større, og så mindre og mindre, og så forsvinner den igjen, poff, uten et spor.

Så, dersom en 4-dimensjonal kule skulle komme fra den fjerde dimensjon, så ville vi se en kule dukke opp, og at denne ble større og større, for så bli mindre og mindre og så forsvinne. Kulene vi ser er tverrsnitt av hyperkula. Dersom et firedimensjonalt monster skulle besøke vår verden, så oppleves det kanskje slik som i denne tegneserien:

Screen Shot 2016-05-26 at 20.06.57

Faksimile fra tegneserien «The Monster From The Fourth Dimension», Weird Science #7 (1951)

Dersom vi nå beveger oss inn i enda høyere dimensjoner får vi vanskeligheter med intuisjonen. Så nå skal vi rekne litt for å lære mer.

Generelt er en N-dimensjonal kule alle punkter i det N-dimensjonale rommet som er en avstand mindre enn radien r fra sentrum. Avstanden kan vi beregne med Pytagoras’ læresetning. Om vi legger sentrum til origo så får vi likninga

x_1^1 + x_2^2 + \ldots + x_N^2 \leq r^2

La oss se på volumet av en kule i N dimensjoner. I 1 dimensjon er har en kule med radius r «volumet» V_1 = 2r, lengden av et intervall. I 2 dimensjoner er «volumet» arealet av en sirkel, V_2 = \pi r^2. I 3 dimensjoner har vi V_2 = \frac{4}{3}\pi r^3. Vi har faktisk en formel for N-dimensjonale kuler, men denne er litt komplisert. La oss heller plotte volumet for r=1 som funksjon av antall dimensjoner:

En graf som viser volumet av en N-dimensjonal kule

Volumet av en N-dimensjonal kule.

Vi observerer noe merkelig. Volumet har et maksimum ved 5 dimensjoner, så avtar det raskt og blir forsvinnende lite. Ved 30 dimensjoner er volumet bare 0.026.

Det er også et snodig faktum at mesteparten av volumet befinner seg nær overflaten av kula i høyere dimensjoner. Så det lønner seg ikke å kjøpe en høydimensjonal appelsin,  for mesteparten er bare skall likevel.

SONY DSC

En 3-dimensjonal appelsin. Mesteparten er deilig og saftig. Men i høyere dimensjoner er mesteparten av appelsinen bare skall … (Kilde: Wikipedia)

Men dette er ikke det rareste. På en måte er nemlig høydimensjonale kuler «piggete»! Hæ?

Ta fire sirkler med radius 1 og plasser dem i et kvadrat (en 2-dimensjonal boks) med sidekant 4. Innimellom de fire sirklene er det et mellomrom, og der tegner vi en sirkel:

Hva er radien til denne sirkelen? Det kan vi rekne ut med Pytagoras’ læresetning, du vet: a^2 + b^2 = c^2. Da får vi at

r = \sqrt{2} - 1 \approx 0.4.

Nå flytter vi oss opp i 3 dimensjoner, og da har vi 8 kuler inne i en boks med sidekant 4. Det er et mellomrom mellom de 8 kulene, og der putter vi en så stor kule som mulig, slik:

kuler

En kule innskrevet mellom 8 større kuler inne i en boks. Den ene kulen er gjort gjennomsiktig for å lettere se hva som skjer.

Hva er radien til denne kulen? Vi kan spørre ringreven Pytagoras igjen, og få svaret

r = \sqrt{3} - 1 \approx 0.7.

Vi merker oss at kulen er littegrann større enn i 2 dimensjoner.

Vel og bra. Hva nå med fire dimensjoner? Da får vi 16 hyperkuler i en «hyperkube» med sidekant 4. Mellom de 16 kulene er det plass til en hyperkule med radius

r = \sqrt{4} - 1 = 1.

Nå er kulen i midten like stor som kulene i hjørnet.

Nå gjør vi som matematikere, og ser på det generelle tilfellet: I N dimensjoner så har den midtre kulen radius r = \sqrt{N} - 1. Allerede i 5 dimensjoner får vi r = 2. Da er midtkula større enn de 32 hyperkulene i hjørnene på hyperboksen, og midtkula berører så vidt hjørnekulene og også hyperboksens kanter! Dette begynner å bli veldig merkelig.

Den fremsynte leseren tenker kanskje: hva med enda høyere dimensjoner, la oss si N = 100? Da er r = 9, og den midtre kulen, som altså er trygt plassert mellom mer enn en nonillion (10^{30}) kuler med radius 1, som alle er inne i hyperdupersuperboksen. Men den midtre kulen stikker likevel mellom kulene (ikke gjennom!) og ut alle «sidekantene» på hyperdupersuperboksen, og sidene de er det mange av! Kulen har altså radius 9 og er en god del større enn boksen, som har sidekant 4.

Så vi kan på en måte si at kulen er «piggete». Samtidig er kulen det mest symmetriske vi kan tenke oss, jevn og pen fra alle retninger. (Det går også an å si at det er boksen som er forferdelig piggete. Dette er åpent for diskusjon i grupper.)

Merkelig og forvirrende? Ja!

Dette var en liten smak på det merkelige som skjer når vi studerer geometri i høyere dimensjoner. Det som nesten er like merkelig er at dette er svært relevant i mange fagfelter. For eksempel innen feltet maskinlæring, der man for eksempel leter i store datamengder. Dersom du trener en datamaskin til å gjenkjenne objekter i bilder, for eksempel, så er hvert bilde en vektor i et høydimensjonalt rom: et sort-hvitt-bilde på 100\times 100 piksler er et punkt i et 10000-dimensjonalt rom.  Da er det lurt å ha en viss følelse med hva som skjer når du forandrer bildet ørlittegrann, det vil si beveger deg en avstand r fra ett punkt i rommet til et annet.

 

11 comments

  1. Carbomontanus · mai 27, 2016

    Dette her er interessant.

    Den høiere aandelige greia er så berømt at det er blitt et nedslitt slagord.

    Men der ligger nok vi kjemikere foran dere i leksa og er over dere i gradene, for vi opererer med rommets kvadratur og størrelsen Kvadrat- liter under brøkstreken, på meningsfull måte.

    Det første som man bør feste seg ved da er mer enn bare dette overfladiske, men hva som også er inni literen og om det lar seg multiplisere med seg selv eller noe annet, og om dette kan ha mening i praksis.

    Det er forresten vist appelsiner her. Ordet betyr kinesiske epler, og de orginale appel- siner er mandariner. Disse er så krysset med andre arter av citrus og oppdyrket for å gi hva vi stort sett kaller «appelsiner» eventuelt også «grapefruit».

    Vi fikk et tre fra handelsgartneriet, fullt av appelsiner. Alle inklusive barna mente de var beske og bitre, men jeg gjenkjente dem som særlig orginale mandariner, og foreslo å koke marmelade.

    Den ble helt suveren!.

    Det er en egen linje, bitre appelsiner som er et «must!» om man skal lage marmelade. Andre appelsiner er altfor slappe i forhold. Og appelsinenes sødme er autentisk kinesisk.

    Det er karakteristisk for appelsiner og citrus at den hvite massen under skallet er særlig rik på pectin, og da kommer vi med en gang inn på kvadratliteren og van der waalskreftene, lim- kreftene i rommet eller snarere i rommets kvadratur,…..og klabbeføret ……….og hva som klisser og clogger og klistrer, for eksempel som marmelade eller syltetøy…. som dertil skal ha sødme og smak og aroma, syrlighet friskhet beskhet og høyde og motstand,…. vi kan exellere i kvaliteter og dimensjoner.

    Uten klabbeføre ingen stjernedannelse og intet liv i universet, så dette er viktig.

  2. KEE · mai 27, 2016

    Vi bruker da dimensjonsbegrepet i biologien også. En kan for eksempel kalle autøkologien studien av en arts n-dimensjonale rom, der hver dimensjon er en påvirkning av arten. Da ligger agronomiens Liebigs minimumslov snublende nære: Avling er bestemt av den etter behovet minst tilgjengelige faktor.

    • Carbomontanus · mai 27, 2016

      KEE
      Det er visse fremstillinger vi bør være vant til og kjenne.

      Man har 3d fremstilt på tavla, som maleri eller tegning eller som video og film. Hvor man beveger planprojeksjonen av rommet i tiden.

      Og så kan man også bevege lyset og farvene.

      Når det gjelder, så har jeg skrevet det med en kvist på bakken og dertil vist det med fakter og håndgemeng i rommet, og snakket om det og kunnet synge om det. Da er det viktig at man flagger riktig, ellers må man si det på rim.

      Nok en mulighet er å utdele smaksprøver, og i kjemisk laboratorium til orienteringen og visningen driver vi og gasser og dufter. Videre kan man kjenne på varmen.

      Og nok en dimensjon er om det har fjør eller pels.

    • Simen Kvaal · mai 30, 2016

      Heisann! Ja, det er klart! Mange av de mest interessante høydimensjonale problemene finner man jo nettopp i biologien. For eksempel spørsmålet om hvordan en økologi som rommer tusenvis av arter kan være dynamisk stabil.

      • KEE · mai 30, 2016

        For en gitt tilnærming til stabil ja. Spesielt her til lands, med godt med granaskau, bør man merke seg en nesten, men bare nesten, lovmessig suksesjon i artssammensetningen i skog som jommen har våre ‘basisdimensjoner’ innebygget i seg, generasjoner og arter som tar over etter hverandre- tid; romlig utnyttelse av plassen- rom og grad av skyggetåling, spes. som ungtre- energi.

  3. KEE · mai 28, 2016

    En dimensjon vi gjerne glemmer er skala. De vanlige romlige tre er aldri så lite forskjellige for en edderkopp og en elefant. Den første kan seile pent ned en 30m skrent, den siste dør av det. Den første kan være dødelig truet av et skybrudd, den siste får seg en lenge etterlengtet dusj.

    • Simen Kvaal · mai 30, 2016

      Skala og dimensjonsanalyse er særs viktig, ingen tvil! Men er skala en «dimensjon» på samme måte som tid og rom?

      • KEE · mai 30, 2016

        En avledet dimensjon, kanskje? Tenk bare på edderkoppen min: Størrelsen dens gjør at helt forskjellige fysiske påvirkninger er viktige for den enn for meg. Jeg trenger ikke ha store bekymringer for vannets overflatespenning, men jeg kan ikke hive ut 100 m 0,35 monofilament fiskesene og forvente at det tar meg til toppen av Himalaya.

  4. Carbomontanus · mai 28, 2016

    Jeg faller i tanker om Caspar Wessel og dennes «immaginære tall», roten av minus 1.

    Og prøvde med kalkulatorn. Null minus 1 og kvadratroten av dette. Da får jeg «E» for error. Med andre ord, Wessel er da klart diskvalifisert eller falsifisert av moderne apparatur.

    Men jeg har av- sittet professor Egil Aubert til forberedende, og denne sa at Wessel var seriøs. Det var Aubert også på kateteret.

    Caspar Wessel steg opp i gradene helt til å bli kongelig landmåler og kartograf og kartla Skjelland på pionermessig vis.

    Så jeg har en mistanke om at de immaginære tall mer var et politisk pek mot Kongemagten for dennes tab, ikke bare av Jämtland og Härjedalen men også av Halland og Skåne, og at roten av minus 1 og hva dette innebærer i praksis skal fortolkes som, nemlig som mangel på landarealer og tap av samme.

    Denne Wessel kan ganske enkelt ha vært litt av en spøkefugl likesom sin broder.

    • Simen Kvaal · mai 30, 2016

      Caspar Wessel hadde et meget praktisk formål med sin geometriske tolkning av komplekse tall — kartmåling!

  5. Anonym · april 10

    Kule greier. Avtakande volum frå 5D og oppover får meg til å lure: Er kuler også i høgare dimensjonar den lekamen med størst volum per overflate?

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s