Hvorfor blir norskekysten lenger og lenger, og hva har det med broccoli og snøkrystaller å gjøre?

Norgeskartet

Norgeskartet

Aftenposten melder i dag at Statens kartverk har oppdatert den offisielle lengden av Norges kyst med hele 18.000 km, fra 85.000 til 103.000 km. Når man tar i betraktning at jordas omkrets ved ekvator er 40.000 km er det et ganske imponerende tall. «Dette må være feil» er kanskje det første man tenker. «Disse tallene er altfor store.» Men nei, det er faktisk slik, at norskekysten er enormt lang, og den blir garantert lenger.

Mer detaljerte kart gjør nemlig kysten lenger. Flere kriker og kroker i fjordene, for eksempel, bidrar ganske mye til den totale lengden, i tillegg til at man får med seg flere øyer. (I oppdateringen er det rundt 240.000 nye øyer!)

For en matematiker er dette et velkjent fenomen. En god modell for norskekysten er nemlig en såkalt fraktal. En typisk fraktal har uendelig lang omkrets, men er ikke uendelig i areal. Den matematiske modellen av Norge får plass på kartet, men kystlinjen er uendelig lang!

Hvorfor det? Vi kan si det på denne måten:

Lengden på «linjalen» man måler kysten med påvirker den totale lengden.

Med en liten nok linjal vil vi «oppdage» så små detaljer at kysten lett blir like lang som avstanden mellom jorda og månen. Kanskje i praksis til og med som avstanden til sola! Jo mindre målestav, jo lenger kyst.

Dette høres helt vilt ut. Om jeg måler lengden på stua med en tommestokk eller en fyrstikk burde da være irrelevant. Det skal ikke påvirke den totale lengden! Riktig. Saken er at stua ikke er en fraktal. Da er det irrelevant hvordan man måler.

La oss se på den konkrete forskjellen mellom en enkel geometrisk figur på den ene siden og en fraktal på den andre siden. Her er en sirkel, med et lite område markert:

En sirkel

En sirkel med markert område

Når vi gjentatte ganger forstørrer det lille området av sirkelen ser det etterhvert ut som en rett linje, slik:

Forstørring av sirkel

Forstørring av sirkel både en og to ganger

Vi sier at sirkelen er «endimensjonal» på grunn av denne egenskapen. (Vi snakker nå om kanten på sirkelen. Det grønne fyllet er todimensjonalt.)

Alle vet at omkretsen til sirkelen er 2\pi r, der r er radien av sirkelen. Altså ikke uendelig. Dette er fordi omkretsen er endimensjonal og «oppfører seg pent» når vi forstørrer den.

Så ser vi på denne figuren, som har fått navnet «Kochs snøkrystall» etter den svenske matematikeren Niels Fabian Helge von Koch (1870 — 1924):

Kochs snøkrystall

Snodige greier. Vi må forklare nærmere hva dette er. Se på dette bildet:

Konstruksjon av Kochs snøkrystall
Konstruksjon av Kochs snøkrystall

Man starter med en trekant. På hver side av trekanten lager vi så en mindre trekant. Totalt har vi nå en 12-kant. På hver av disse kantene legger vi igjen trekanter. Dette gir en 48-kant (bare tell!). Og så fortsetter vi  — i det uendelige. Husk, dette er matematikk. Da kan vi gjøre noe uendelig mange ganger.

Og det skulle være ganske klart nå, at dersom man forstørrer snøkrystallen vil det alltid være nye, små trekanter som dukker opp — det er jo tross alt slik vi har konstruert den. Vi får aldri en rett linje slik som med sirkelen. Se bare her:

Zoom av Kochs snøkrystall

Hjælpes.

Kanten på snøkrystallen er hakkete og ujevn, på alle forstørrelsesnivåer. Den er også det vi kaller «selvsimilær». Det betyr at den «ser lik ut» uansett hvor mye vi forstørrer den. Nå er det ikke så lett å si at krystallens kant er «endimensjonal», og vi kan få problemer når vi ønsker å finne omkretsen.

Hva er så den totale omkretsen av krystallen? Hver omgang med å legge til trekanter øker faktisk den totale lengden med en faktor 4/3 \approx 1.33. Etter 20 omganger har den opprinnelige lengden økt med en faktor 315.

Den totale lengden bare vokser og vokser, og går mot uendelig for den ferdige snøkrystallen!

Tenk deg nå at du ønsker å måle omkretsen med en linjal. Det er ikke så vanskelig å se, at dersom linjalen er veldig veldig liten får du en veldig veldig stor omkrets, siden linjalen «finner» flere kriker og kroker. Dette er nøyaktig det samme som har skjedd når Statens kartvesen oppdaterer den offisielle lengden til Norges kyst. De har hatt et bedre kart, dvs klart å måle lengden til kysten med en mer nøyaktig linjal.

Til slutt vil jeg filosofere litt. Hvorfor mener vi at en fraktal er en bedre modell for norskekysten enn en jevn kurve — riktignok en med en del kriker og kroker? Altså, på et kart er norskekysten helt klart en trukket linje med en endelig lengde. Hvorfor snakker vi om fraktaler?

Saken er at fraktalene forteller vitenskapsfolkene noe grunnleggende om hvordan verden er snekret sammen. De forteller noe om de naturlige prosessene som har skapt norskekysten i første omgang! Geologiske prosesser foregår på flere skalaer — fra bevegelser i jordskorpen, via isbreers skuring, til luftas erosjon av fjell og stein. Dette gir opphav til detaljene som finnes på de ulike skalaene i norskekysten. (Geologene vil nok si at jeg gjør en grov forenkling her. Men jeg er ikke geolog!)

Dette gjelder også i andre vitenskaper. Fraktaler dukker også opp i flere og flere sammenhenger, som for eksempel i biologi. Har du studert blomkålen i det siste? Romanesco-broccoli er et annet, kanskje enda mer slående eksempel fra samme slekt:

Romanesco-broccoli: en fraktal grønnsak!

Romanesco-broccoli: en fraktal grønnsak!

Ta en kikk på bildene på denne nettsiden for å se forstørrelser av grønnsaken. Du kan klart se at hver av de store «spiralene» inneholder kopier av seg selv! Og man kan spørre seg om hva det forteller om biologien, om hvordan planter kan vokse, og hvordan «oppskriften» på dette er kodet i arvematerialet. Men det er en annen historie.

10 comments

  1. o__o · november 25, 2011

    Og enda mer imponerende blir kystlinje når man justerer jordens omkrets fra 400 000 km til rett over 40 000 km, dom vel stemmer bedre. Forøvrig en finfin artikkel.

    • Simen Kvaal · november 25, 2011

      Hei, og takk for kommentar!

      Hupps, det var en liten blemme med det tallet, flott at du observerte det! Det rettes umiddebart.

  2. Hans-Christian Holm · november 25, 2011

    Flott at noen forklarer dette for allmuen. Litt pirk, bare:

    Det er egentlig helt feil både å si at norskekysten er 85.000 km og at den er 103.000 km. Kystlinja er (teoretisk sett i denne artikkelen) en fraktal med dimensjon mellom 1 og 2, og km er ikke en enhet i den dimensjonen. Det blir omtrent like feil som å si at det er tre meter melk i en melkekartong. Det går an å si at kysten har en viss lengde i ei viss oppløsning, men da må en si noe om oppløsninga, f.eks. ved å si at en har brukt en meterlang linjal eller et rutenett med én meters oppløsning. Uten den informasjonen er både 85.000 km og 103.000 km helt meningsløse verdier, og nyhetsverdien blir omtrent null (i en vilkårlig dimensjon). Det blir også veldig rart å operere med et offisielt tall for kystlengden. Det eneste egentlige nyheten er at Kartverket har fått en kortere linjal.

    Det er også litt ugreit å si at en fraktal har uendelig lang omkrets, men ikke uendelig areal, som det står i artikkelen her. Det er på samme måte som at det er meningsløst å si at en liter melk er uendelig lang, eller at ei gitt overflate på noe ikke har et uendelig volum. En fraktal av kystlinjetypen måles i noe som ligger mellom lengde og volum, og jeg syns ikke begrepet «uendelighet» passer særlig godt i en beskrivelse av forholdet til lengdemål og rommål.

    Det fins også fraktaler med dimensjon f.eks. mellom 2 og 3, og i det tilfellet stemmer det heller ikke at en fraktal er «ikke uendelig i areal», om vi likevel skulle godta bruken av «uendelig». Videre kan en fraktal ha dimensjon mellom 0 og 1, osv., og da blir det noe annet igjen.

    Så er det lov å være litt praktisk orientert og merke seg at vannet aldri er helt i ro ved kysten, sånn at det blir vanskeligere og vanskeligere å måle jo kortere linjalen er, til det til slutt i praksis blir umulig. Nesten litt heisenbergsk, det problemet.

    Om en tar det enda en del hakk lenger, både teoretisk og praktisk sett, er ikke kystlinja heller fraktal, for en vil til slutt uansett vannbevegelser ende på et nivå der en må måle molekyler, og strukturene er ikke lenger fraktale når en zoomer innover. Romanescoen mister den mest åpenbare fraktale karakteren lenge før en kommer til det nivået. Av sånne grunner er verken kystlinjer eller grønnsaker eller andre ting i naturen egentlig fraktaler, men fraktalaktige strukturer.

    (Og kysten blir ikke lenger, men lengre …)

    • Simen Kvaal · november 26, 2011

      Hei, og takk for konstruktiv kommentar! Det er et spennende innspill du kommer med, og artig å se at innlegget engasjerer.

      La meg ta det første først: Det er sant som du sier at det ikke gir mening å tilordne én bestemt lengde til en fraktal, siden det kommer an på målestokken vi bruker. Dette er veldig viktig!

      Når det kommer til begrepet «fraktal dimensjon», vurderte jeg det dithen at dette ble for avansert for blogginnlegget, som tross alt er myntet på «personen i gata». Derfor tok jeg ikke med noe om det. Men jeg er likevel ikke helt enig med hva du skriver om dette i kommentaren din. La meg utdype dette.

      Selv om vi snakker om en ikke-heltallig dimensjon D på fraktaler, er det (så vidt jeg vet) ikke vanlig å måle størrelser med denne dimensjonen. Den fraktale dimensjonen er nemlig en _statistisk egenskap_ som sier noe om hvor mye av planet Koch-kurven fyller. Kurven fyller mer enn en linje, siden den er ruglete på alle nivåer. Altså er D>1. En dimensjon D=1.1 sier at vi «nesten har en kurve», mens D=1.9 sier at vi «nesten fyller hele planet.» Likevel snakker vi om Koch-kurven som en plan kurve. (Faktisk er det en kontinuerlig kurve. Vi kan på kontinuerlig og entydig vis tilordne en koordinat mellom 0 og 1 til hvert punkt på kurven!). Kurven omslutter et endelig areal, og det gir altså mening å snakke om dette.

      Med fare for å være overtydelig, vil jeg beregne arealet innenfor koch-kurven. Dette er en grenseverdi av A(n), når n går mot uendelig, der A(n) er arealet etter n omganger (iterasjoner) av konstruksjonsprosessen. Hver iterasjon legger til 3*4^(n-1) trekanter med areal A(0)/9^n, siden trekantenes areal blir forminsket med en faktor 1/9 hver gang. Vi starter med en trekant med areal A(0). Så legger vi til 3 trekanter med areal A/9, altså er A(1) = A(0) + A(0)/3. I neste omgang legger vi til 12 trekanter med areal A/81, dvs A(2) = A(0) + A(0)/3 + 12*A(0)/81. Og så videre. (Se http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake ). Til slutt ender vi opp med A(n –> uendelig) = 8*A(0)/5, et pent og pyntelig, endelig tall. Det er åpenbart arealet av flaten innenfor kurven.

      Som du sier, er fraktalene bare _tilnærminger_ til virkeligheten. På liten nok skala kommer vi uansett til atomær skala, og dermed ingen flere detaljer i fraktal-definisjonens forstand. Men _poenget_ med å bruke fraktaler som modeller er at det sier oss noe om hvordan for eksempel romanesco-broccolien er bygd opp, hvordan genene forteller broccolien at den skal vokse. «Vokse-reglene» bygger inn en selvsimilær struktur; brokkolien har til en god tilnærming «kopier av seg selv» fordi det er slik genene sier at den skal vokse. Evolusjonen har funnet ut at dette er en god og økonomisk løsning. Brokkolien er et visst antall iterasjoner av en fraktal-genererings prosess på samme måten som Koch-konstruksjonen etter n steg. Dette er svært vanlig i planteverdenen. Så den tilsvarende matematiske fraktalen er meningsfull å diskutere, men ingen vil si at planten «er» en fraktal. Merk at jeg presiserer dette i kystlinje-eksempelet, at fraktalen er en _modell_ og ikke virkeligheten selv.

      Simen.

  3. Snorre Christiansen · november 26, 2011

    Jeg derimot synes det er helt greit å si at Norge har endelig areal men uendelig omkrets, sålenge man er klar over at man da måler to forskjellige ting på to forskjellige måter: henholdsvis 2-målet til landmassen og 1-målet til kystlinjen. Da kan man legge til at 1-målet til landmassen er uendelig og 2-målet til kyststripen er null. Fysikere vil nok gjerne oppgi en målenhet for slike mål. Gitt en referanse lengde L vil d-målet bli målt i L^d: hvis L er én kilometer, måles da 1-målet i kilometer og 2-målet i kilometer^2 (altså kvadratkilometer). Som HCH poengterer ville det være meningsløst å sammenlikne 1-mål og 2-mål kvantitativt – men begge er altså veldefinerte størrelser, selv for fraktaler.

    Slike d-mål kan defineres også for d mellom 1 og 2, fortsatt med måleenhet L^d. Det morsomme med kystripen, og det som gjør den til en fraktal, er at det finnes en D mellom 1 og 2 slik at d-målet til kystlinjen er null L^d for d>D og uendelig L^d for d<D. Denne D en den fraktale dimensjonen til kystlinjen. I praksis vil D beregnes ut ifra hvor fort den målte lengden til kystlinjen vokser, når lengden til målestokken minker.

    Så Simen, hva er den fraktale dimensjonen til Norskekysten?

    • Simen Kvaal · november 26, 2011

      Takk for innspill, Snorre!

      Du forklarte dette veldig godt. Jeg var ikke klar over at man kunne definiere d-mål slik du snakker om, og dette forklarer kanaskje hva HCH mente. Men som du sier, det er meningsfylt å snakke om areal og lengde av fraktaler og arealer disse omslutter. Man måler rett og slett ulike størrelser.

      Simen.

    • Hans-Christian Holm · november 27, 2011

      For Koch-kurven er dimensjonen gitt ved 3^D = 4 (den blir fire ganger så stor om du tredobler lengdene), som gir D = ln(4)/ln(3) ≈ 1,26. Størrelseenheten må bli m^(ln(4)/ln(3)) ≈ m^1,26. Jeg kan ikke huske å ha sett noen sånne enheter blitt brukt noe sted, men det kan jo være at noen har forsøkt seg.

      Jeg kan ikke se at det skulle gå å finne noe mål på dimensjonen til norskekysten, verken i teori eller praksis. I teorien forsvinner det fraktale utseendet når du går langt nok ned, og i praksis vil bølgeskvulp ødelegge hele prosjektet.

      Men en ting som faktisk kan undersøkes, er hvordan kystlengden vil endre seg mellom ulike oppløsninger, som Snorre skriver, og bruke det som et lokalt mål på fraktal dimensjon. Norgeskart fins i serier som heter N50, N250, N500, N1000, N2000 og N5000, som er datagrunnlaget for kart med oppløsning 1:50.000, 1:250.000 osv. I tillegg fins det Økonomisk kartverk, som går ned til 1:5.000. Jeg har aldri sett noen forklaring på hva serieinndelingene egentlig innebærer. En kan trykke et hvilket som helst datagrunnlag i ei hvilken som helst oppløsning, men det er rimelig å anta at oppløsningene på dataene står noenlunde i proporsjon til det de er ment å brukes til. Det er en smal sak å finne kystlengder i et datasett. Om L50 og L250 er kystlengdene i hhv. N50 og N250, er dimensjonen ved overgangen fra N50 til N250 gitt ved noe sånt som ln((250/50) * (L250/L50))/ln(250/50) = 1 + ln(L250/L50)/ln(250/50).

      Alternativt går det å ta utgangspunkt i det mest detaljerte, N50, og så bruke kurveforenklingsalgoritmer for å se hvordan den fraktale dimensjonen blir ved forskjellige forenklinger. (Hvordan lager Kartverket egentlig de forskjellige seriene, er det også algoritmisk utfra N50?)

      Det er rimelig å anta at den fraktale dimensjonen varierer og er størst i liten målestokk. Det er vanskelig å finne noe som likner en bitte liten versjon av Sognefjorden, men det er mye forholdsvis rette strender og glatte svaberg å se om en rusler langs kysten. Dimensjonen vil også variere etter hvor i landet en er.

      Et spørsmål jeg gjerne ville sett diskutert er hva fraktalene egentlig forteller vitenskapsfolk for grunnleggende om hvordan hvordan verden er snekra sammen, som det blir påstått i artikkelen her. Det er opplagt at det er interessante sammenhenger ute og går, men hvilke er det egentlig snakk om? I det jeg har lest om fraktaler, har det aldri kommet særlig lenger enn til at det er visuelle likheter ute og går på visse nivåer, særlig hos enkelte planter. Det er alltid denne evige blomkålbrokkolien og bregner hit og dit. Hva er de fraktale egenskapene til ei ku?

      • Simen Kvaal · november 28, 2011

        Hei!

        Når det gjelder den fraktale dimensjonen til norskekysten, har jeg et lite prosjekt på gang der og håper å kunne publisere dette. Det innebærer bruk av Google maps og litt smart mønstergjenkjenningssoftware.

        Hva vitenskapsfolk faktisk blir fortalt av fraktalene er det en spennende utfordring til et fremtidig innlegg! Det er slik at modeller med fraktale egenskaper nå er svert utbredt i mange vitenskaper, og disse egenskapene gir faktisk nyttig informasjon om systemene som modelleres. Valget av visuelt slående planter og morsomme kystlinjer blir stort sett tatt fordi «de fleste fraktaler ikke er pene», for å sitere Michael F. Barnsley.

        Simen.

  4. einjen · november 26, 2011

    Hei! Dette var en veldig fin blogpost om fraktaler!
    Jeg er helt døv når det gjelder matematikk, så dette var bra forklart!

    • Simen Kvaal · november 26, 2011

      Hei!

      Tusen takk for hyggelig tilbakemelding! Det er slikt som gjør det moro å skrive blogg.

      Simen.

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s